借图形变化，巧添辅助线，证明线段相等

证明线段相等的方法有很多，一般有如下的思考方向：

(1)两条线段在同一个三角形中，通常运用等角对等边；

(2)两条线段在两个三角形中，证明这两条线段是全等三角形的对应边；

(3)运用等腰三角形的三线合一、线段的垂直平分线性质定理、角平分线的性质定理证明；

(4)特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)的判定或性质；

(5)等量代换；

(6)图形旋转、翻折、平移后对应边相等。

观察图形，可以发现，线段CP、PB在同一个三角形中，由题易知∠PCB、∠PAB=15°，在不添加辅助线的前提下，无法证明∠PBC=15°，若换一种思路，将线段PB、PC放到两个三角形中，证明所在的三角形全等也无法实现，图中更没有垂直平分线、角平分线等特殊图形，似乎常用的方法无法实现。由于图形中的条件比较集中，因此可以尝试从图形运动的角度添加辅助线使集中的条件分散化，搭建已知和未知之间的桥梁，这就是解题的突破口。

1、运用平移变换

解法分析：从图形运动的角度看，解法1通过构造平行四边形，将PB平移到AD，从而将AD、CP置于两个全等的三角形中；解法2通过构造正方形，将AD平移到BD处，同样通过全等证明线段相等。在图中通过构造平行四边形或者构造正方形来实现线段的平移。

2、运用翻折变换

解法分析：从图形运动的角度看，解法3和解法4是观察到图中含15°、30°角，翻折后将会出现30°、60°的特殊角，从而构造了全等三角形、等腰三角形和等边三角形来证明问题的正确性。

解法分析：从图形运动的角度看，解法5、解法6以及解法7则是观察到图形中已知或需证的等腰三角形，或是构造了角平分线，充分运用其轴对称性质解题。

当条件或问题中出现或构造二倍角、等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线等条件，可以考虑运用翻折变化，运用其轴对称性质解决问题。

3、运用旋转变换

解法分析：从图形运动的角度看，解法8实质上将AB绕点A逆时针旋转60°，构造了等边三角形，利用“等角对等边”解决问题；解法9将CP绕点C顺时针选择60°，构造等角，再通过全等三角形的相关知识将问题解决。

总之，当题目中含有等边三角形、等腰三角形等图形时，或需要构造等腰三角形、等边三角形时，可以考虑通过图形的旋转解决。

（以上内容参考自徐行中学 许曦韵）