中考数学压轴题分析:等腰翻折产生中位线

本文内容选自2021年常德中考数学压轴题。题目以等腰三角形为背景,涉及相似与中位线有关的问题,值得学习。


【中考真题】

(2021·常德)如图1,在中,,是边上的一点,为的中点,过点作的平行线交的延长线于,且,连接.
(1)求证:;
(2)在图1中上取一点,使,作关于边的对称点,连接、、、、得图2.
①求证:;
②设与相交于点,连接,求证:,.


【分析】

(1)先根据平行与中点,得到AT=CN,再根据AT=BN得到结论。

(2)①证明相似,则需要证明角度相等。可以发现两个三角形均是等腰三角形。先考虑证明△OAT≌△OCM(SAS),进而得到两个三角形对应边成比例。但是如何证明夹角相等呢,只需证明∠AOT=∠COM即可,也是根据前面的全等得到结论。自然就搞定了。

②需要证明这个结论,相当于证明P、D分别为两边中点,也就是说PD为△CTM的中位线。点D已知是中点,那么只需证明点P为TM的中点即可。

由于AT与OM平行,那么我们可以考虑一个8字型的全等,得到结论。

如上图,假设AC与OM交于点E,那么易得△ECM为等腰三角形,则EM=AT,进而得到结论。 
【答案】证明:(1),

点是的中点,

在和中,


,,


(2)①,,
四边形是平行四边形,
,,

平行四边形是矩形,

点,点关于对称,
,,






又,,

,,
,,

②如图2,将绕点顺时针旋转,使点落在点上,连接,,







又,


四边形是平行四边形,

又,
,.

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