是什么让你这么肯定1+1=2的?为什么不是1?数学究竟从何而来? 2024-05-07 19:05:30 让我们从最基本的数学方程开始:这可能是我们小时候学的第一个等式。一些人可能有模糊的记忆,我们的父母一遍又一遍地重复这个等式。等一下,你可能会抗议。这个方程有一个小问题!它不是应该是:我想问你:你怎么知道?这不是很明显吗?当你把一个弹珠和另一个弹珠放在一起时,你就会得到两个弹珠!这不是很明显的吗?你的父母在你小的时候没有告诉你吗?我的回答是:但是当你把一杯水加到另一杯水里时,你最后只得到一杯水!你知道吗?1 + 1 = 1?根据经验主义者的观点,我们通过经验获得数学知识,似乎是通过与周围世界的互动来学习数学的。例如,我们的父母可能教我们数数,或者用家里的各种物品做简单的算术。但正如上面的小思维实验所显示的,这种数学观似乎有一个问题,我们从世界获得的知识是不确定的。为了理解为什么会这样,我们要更仔细地研究一下我们如何学习1+1=2。假设一个孩子开始学习1+1=2。首先,父母可能会在两只手上各拿一个弹珠,然后把它们放在一起,让孩子知道现在有两个弹珠。这可以用其他物体重复进行,如饼干、铅笔、数学课本......。过一会儿,孩子就会开始意识到这个模式(规律),并得出(正确的?)结论:1 + 1 = 2。在这种情况下,孩子在有限的样本容量中添加一个物体和另一个物体,然后概括他的经验,得出等式。问题是,这种概括,也被称为归纳法,开启了错误的可能性。如果我们遵循这样的逻辑,像水杯这样的例外情况将导致我们得出非常不同的结论。这样看来,也许,虽然我们可以通过经验来学习数学,但经验不能成为证明数学的基础。换句话说,虽然我们可以通过摆弄各种物体来了解“1 + 1 = 2”这个命题,但这并不是这个命题成立的原因。经验主义不是最好的数学观点的另一个原因是,它不能解释我们如何获得理想和抽象实体的知识,这些实体在现实世界中实际上并不存在。例如,一条线,定义为有长无宽,在现实世界中是不可能画出来或感知到的。无论你的画有多好,即使是用电脑画的,在数学上也是不正确的,因为在某种程度上,“线”只是一系列相邻的像素,它们有宽度。如果这些数学对象在现实世界中不存在,我们怎么能仅仅通过我们的经验来想象它们呢?由于上述原因,数学通常被看作是一个先验的学科,也就是说,相对于经验而言,它需要理性来认识它。这是因为像1+1=2这样的陈述被视为分析性的,即根据定义是真的。这就意味着,“1 + 1≠2”这一命题的否定是一种矛盾,仅仅通过思考(仅使用理性)就可以看出这一矛盾。其他例子包括 "三角形有三条边 "或 "平行线永不相交"。结果是,我们的数学知识现在是确定的,因为说 "1+1=1 "或 "一个三角形有四条边 "在逻辑上是根本不正确的。 不是一个三角形。 但这仍然没有告诉我们,我们是如何得到这样的表述(结论)的。为了回答这个问题,我们必须转向最常见的数学观点:柏拉图主义。在柏拉图主义下,数学实体是抽象的、永恒的、永不改变的。它们存在于形式的世界中,独立于物理世界。当我们做数学时,我们用头脑来访问这个形式的世界,发现其中的真理。例如,我们知道一个三角形有三条边,因为完美的三角形就是这样存在于这个 "形式的世界 "中,我们可以通过使用我们的思维能力来了解它。你可能认为这个 "形式世界 "的概念有点奇怪。但既然像完美的圆和线这样的数学实体不存在于现实世界,那么它们一定存在于某个地方。否则我们怎么会知道它们呢?而它们存在的地方正是柏拉图主义者所说的形式世界!这也符合数学的先验性质,因为数学的合理性不在于是否能在物理世界中找到一个实体或定理,而在于我们是否能在形式世界中找到它。例如,我们并不是通过测量无数个物理三角形来证明三角形的角度之和为180°。相反,我们使用的是一个我们可以在头脑中发现的证明,使我们能够获得三角形的真理,即存在于形式世界中不变的三角形,其角度之和等于180度。此外,它还解释了为什么数学是通用的。世界各国的人都会同意1+1=2或毕达哥拉斯定理是正确的,因为数学独立于我们的思想而存在。这意味着,我们都可以访问存在于形式世界中的同一套普遍的数学规则和实体。像莱布尼茨和牛顿这样的人独立开发微积分的事实,也证明了这一点。然而,正如许多人可能指出的那样,这种模糊的形式世界的概念并没有真正准确地解释数学实体在哪里和如何存在,以及我们如何知道它们。这似乎有点奇怪,有一个神秘的领域,像完美的线和圆这样的物体就存在,等待我们以某种方式发现它们。这就是为什么有些人可能更喜欢以下观点:直觉主义。根据直觉主义的观点,我们并不是在某个抽象的领域里发现数学实体。相反,数学是由人类的思维构建的,因此避免了困扰柏拉图主义者的问题,即我们究竟如何得出数学命题。所有人都对数学有一种原始的直觉,从自然数1、2、3开始......这意味着我们对数字1的含义有一种直接的确定性,而且形成数字1的心理过程可以重复得到2,然后是3,以此类推。在这之后,我们可以构建数学的其他领域,如算术、代数和集合理论。这种观点之所以吸引人,是因为它仍然坚持认为数学是先验的、普遍的。由于数学语句的构建是一种心理活动,它是先验的,这使我们能够确定像1+1=2这样的语句是真的。此外,所有人类对数学都有相同的直觉,这一事实使我们能够提出相同的数学并达成一致。此外,根据一种说法,数学是建构的这一论点似乎确实提供了 "关于算术和人脑之间关系的最佳解释"。现代心理学似乎支持原始数学直觉的想法,我们有某些先天的范畴,我们根据这些范畴来理解世界。然而,直觉主义也有一些缺点。主要的问题是,虽然许多定理既可以用经典方法证明,也可以用直觉方法证明,但直觉主义的定理通常要长得多,因此不那么优雅,导致许多数学家不愿意接受它。但优雅并不是真理的标准,所以仅仅因为直觉主义不如柏拉图主义优雅而否定它并不完全是最理性的做法。总而言之,在我比较关于我们如何获得数学知识的两种观点——柏拉图主义和直觉主义之前,一个简单的思想实验显示了为什么看似直观的数学观点,经验主义是站不住脚的。 赞 (0) 相关推荐 直觉主义——数学概念是自主的智力活动 直觉主义的哲学思想来自康德.它特别强调人的直觉对数学概念的作用. 01 布劳威尔:构造出的自然数 作为直觉主义学派的创始人和代表人物,布劳威尔提出了他对数学对象的看法. 图1 布劳威尔 数学中最基本的 ... 真实世界的脉络:平行宇宙及其寓意(4) 我一直在讨论的是量子计算机能够比现有的机器更快地求解传统类型的数学问题.但是存在另一类计算任务,传统计算机根本不能完成它,而量子计算机则是有希望的.由于不可思议的巧合,首批发现的这类问题之一也与公钥密 ... 万物皆数,现代科学为什么产生在西方 要彻底弄明白现代科学为什么产生在西方,我们必须求源溯本,寻求科学的祖脉,并在探寻现代科学的始祖以及一脉相承的文化的过程中,从中获益. 探寻现代科学的祖脉,当然首先要从希腊三哲开始. 希腊三哲指柏拉图的 ... 1+1=1…吧? 中科院物理所 1小时前 你凭什么认为 1+1=2 ? 如果我说 1+1=1 ,我们可以构造出怎样的数学? 让我们首先考虑一个可以说是最基本的数学公式: 这可能是我们小时候学到的第一个等式.我们中有些人 ... 推荐一本靠谱的哲学入门书籍 强烈推荐作者书杰写的<哲学100问>. 此书是我目前见到的介绍西方哲学入门最好的一本书. 为什么推荐它? 有三点原因: 1,问题导向. 2,答案简明. 3,快速升维. 一,问题导向 书中每 ... 夏莹|马克思是一个观念论者吗? 马克思是一个观念论者吗? --马克思与德国观念论传统 美国学者汤姆·罗克莫尔(TomRockmore)在近来的一系列著作中,将马克思视为一个地道的观念论者(idealist),并在此论断的基础上来讨论 ... 连载3:数学,世界之王:闲谈现代数学的基础问题! 人类知识的先验基础,在康德那里已经说得很清楚,虽然可以构造无限多的数学系统,但不同的民族都自发地能发现接受自然数这一点,当然会引起很多神秘的联想.对这一点的解释有很多途径,有一种就是认为自然数是天生. ... 否定客观观念,《感知论》重新解释世界(深度解读) 崔健: <感知论>理论体系中的范畴.概念之四--感知规则和感知逻辑 <我读感知论>系列文章之十七 我们是这个世界上唯一一个如饥似渴的追求知识的物种.首先,我们有意识或者无意识的 ... 肯定还是质疑 第一个吃螃蟹的云度究竟何时能见到阳光? | 新势力造车·迷局 目前来说众多新生势力的产品仍处于概念阶段,蔚来.威马.小鹏.前途等"前端品牌"的产品还都处于上市边缘,只有云度旗下的产品已经在市场上走了一遭. 记者|徐进凯 蔚来.威马.小鹏.云度 ... 老司机在副驾驶只要看到这几个动作,就知道驾驶员肯定 最佳答案 比如这几个动作1.双手握方向盘僵硬,领了驾照没多久的新人,对汽车方向盘的操作不够熟悉,再加之道路经验少,所以开车会有紧张感,这就造成了开车手握方向盘的姿态不够自然,肩膀不能自然下垂,握方向盘 ... 这样讲解“半夏”,你肯定没听过! 来源 首先我们看一下半夏的来源:半夏是天南星科植物,多年生草本--半夏的块茎.这个植物大多生长在山坡.小河或者小溪边的阴湿之地. 性味 在药类法象上,我们遵照张元素先生的药类法象,把半夏归属于湿化成 ... 盖茨离婚的真相,肯定跟你想的不一样 编辑:一诺 来源:海边的西塞罗 我在学生时代,曾看过一部西班牙历史题材电影,叫<疯女胡安娜>. 这部影片的主人公胡安娜是可能是西班牙甚至整个欧洲历史身份最显赫的女王. 套用有人形容武则天的 ... 这34张照片您能认出来是什么地方吗?全答对的肯定是老北京! 见过城墙的一代人, 每每提起老北京都会眼中带泪, 没有见过城墙的一代人, 每每听到老北京的一切,都会眼中有光, 到了今天,一代又一代人,从一张张照片中, 来找到属于记忆的点点滴滴, 让我们来看看这里是 ... 烂板出大牛。我们打板客的目标,肯定是出手... 烂板出大牛.我们打板客的目标,肯定是出手就是硬板,最好给自己上车机会后一直封到收盘,隔日再加速.但很多时候事与愿违,盘中反复打开,一天心情都受影响,担心当天炸成麻花,即使勉强封住,也怕第二天核按钮. ... 长期拿住股票肯定会赚钱吗? 语音阅读在文末,节省眼睛的朋友可到文末收听. 大家好!最近一年,新关注读者数量增加,先简单介绍一下自己: 我是个"70后",1999年开立股票账户,成了一名"散户&quo ... 三分钟掌握一般将来时will肯定和否定式|智学君三分钟英语 will 型一般将来时和be going to 型一般将来时有什么区别? 马斯克:前往火星的道路上,肯定会死很多人,但荣耀与他们共存 今天 来源网易号:宇宙v空间 路途漫漫 人类在地球上存在了300万年的时间,而在这么长的时间内,我们最终没有被囚禁在地球,因为在未来人类将一飞冲天,探索整个太阳系,而火星探测则是人类当下的焦点.但是去 ...