2021国际Zhautykov奥林匹克 数学组 第二天 中文翻译

这是哈萨克斯坦的一个国际比赛, 由于疫情改在线上进行.
比赛时间: 2021年1月7-12日.

第一天的题目见:  2021国际Zhautykov奥林匹克 数学组 第一天

第二天

4.设为三角形 的内切圆, 在 内部,分别作三个小圆, 使得他们既与三边中的两个相切, 也与相切,如图所示.

设这三个小圆的半径分别为 . 求证:

5.一次派对有99名客人参加.为了助兴,  A和B两位主人决定玩一个游戏.首先, 他们准备了99把椅子,围成一个圆圈. 随后, 所有的客人站在椅子附近. 两位主人轮流进行如下操作: 在每个回合中, 当前玩家可以指定任意一名客人坐进一张空椅子中. 此时, 若这张椅子附近的椅子已经有人坐下了, 那么当前玩家可以指定其中一个相邻椅子上坐着的客人站起来.(如果相邻的两张椅子都有人, 则玩家任选一个, 如果恰有一张椅子有人, 则此人必须站起来). 所有的操作都瞬间完成. A先开始游戏, 她的游戏目标是, 使圆圈中至少k位客人坐在椅子上.求k的最大值, 使得无论B如何操作, A都可以实现这个目标.

6.已知n次有理系数非常数多项式不能被表示为2个有理系数非常数多项式的乘积. 若次数小于n的有理系数非常数多项式满足, 整除, 就称是神奇的多项式.(1)证明神奇的多项式只有有限个.(2)证明神奇的多项式的个数不超过n.