中考数学真题——旋转辅助线

2018年淄博中考数学第12题

如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A．9+(25√3)/4B．9+(25√3)/2C．18+25√3D．18+(25√3)/2

【答案】A．

【解析】解：∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC，

可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，

∴△BPE为等边三角形，

∴PE=PB=4，∠BPE=60°，

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，

∴AE2=PE2+PA2，

∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，

∴∠APB=90°+60°=150°．

∴∠APF=30°，

∴在直角△APF中，AF=1/2AP=3/2，PF=√3/2AP=3/2 √3．

∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+3/2 √3）2+（3/2）2=25+12√3．

则△ABC的面积是√3/4·AB2=√3/4·（25+12√3）=9+(25√3)/4．