数与图（11）——画圆
本文在《数与图（10）——跳动的心脏》基础上，绘制圆形，并观察小球在圆周上的移动。
其实画布组件本身具有画圆的内置过程，只要给定圆心坐标和半径，就可以实现画圆的功能，不过，为了更好地从数学角度理解圆，我们还是自己写程序画圆，况且这样才能让球在圆周上移动。
在高中的解析几何课上，我们学过圆的方程：(x-a)2+ (y-b)2 = r2，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。为了简化程序，这里假设圆心坐标为原点(0,0)，圆的半径为2，这样圆的方程简化为x2+y2=r2。由此求出
这是我们画圆的数学依据。
在前面的文章中，我们对两个坐标轴的最大值、最小值的设定是不对等的，也就是说两个坐标轴的缩放比例有所不同，如果在这样的坐标系里画圆，可想而知，只能得到一个椭圆。为了获得一个真正的圆，我们需要让两个坐标轴具有相同的缩放比例，实现这一点最简单的方法就是让画布的宽和高相等。为此，我们要对用户界面稍加修改，然后再来编写程序。
一、修改用户界面
首先打开《数与图（10）》中的项目，将项目另存为“画圆”，然后在新项目中将屏幕标题改为“画圆”，将画布的高度设为350像素（宽度原本就是350像素），并手工填写坐标轴的绘图参数，修改后的用户界面如图1所示。
图1 修改画布宽度及坐标轴的绘图参数
此时连接AI伴侣，会看到手机屏幕上显示为图2中的样子。
图2 修改后的用户界面
二、编写程序
1、添加全局变量
首先声明一个全局变量R，设其初始值为2，如图3所示。
图3 声明全局变量
2、添加有返回值过程——圆函数
对于我们将要绘制的圆，它包含了两个部分：y大于0的部分和y小于0的部分，也就是说，对于同一个x，有两个y与之对应，它们互为相反数。因此，在圆函数过程里，除了参数x，还要增设一个参数“y大于零”，这个参数的值为逻辑值。具体代码如图4所示。
图4 有两个参数的圆函数过程
3、修改过程——求曲线坐标列表
对于同一个x，存在两个y值与之对应。在循环语句中，直接将x添加到全局x列表，将大于零的y值添加到全局y列表，将小于零的y值添加到局部变量y列表中。当循环结束后，将逆序的全局x列表追加到全局x列表，将逆序的局部y列表追加到全局y列表，代码如图5所示。
图5 修改后的过程——求曲线坐标列表
这里提醒读者思考一下为什么要对追加的列表进行逆序操作，如果不这样，会有怎样的结果？
三、测试
点击手机屏幕上的画曲线按钮，有圆画出来，再点击移动球按钮，球会沿圆周移动，起点和终点都是(-2,0)点，如下面视频1所示。仔细观察球的运动，发现球在x的最大值和最小值处会突然加速，这是因为对于等距离的x变化量，y的变化量增大明显。
视频1 球沿圆周移动
四、尝试另一种绘图方法
高中数学中讲到过极坐标，对于平面上的任意一个点，可以用“角度+长度”来确定点的位置。在极坐标系中，与原点相对应的点称为极点，与x轴正方向重叠的射线称为极轴，极轴也是0度角的位置，逆时针方向为角度增加的方向。对于平面上任意一点M，从极点到M的线段称为极径，用r表示，该线段与极轴之间的夹角称为极角，用θ表示（注意角度的正方向）。在极坐标系中，圆的方程异常简单：r=R（R为常量），无论角度取值如何改变，极径均为常量。
极坐标与平面直角坐标之间存在固定的转换关系：
利用这个转换关系，重新修改“求曲线坐标列表”过程，将原来循环语句中的循环变量x改为角度，然后根据角度和半径R计算x、y坐标，代码如图6所示。修改后的代码看起来更加简洁明了。
图6 改写过程中的循环语句——以角度为循环增量
再次进行测试，结果如视频2所示，注意观察球的移动速度。
视频2 修改后的测试结果
五、发现旧程序中的错误
在测试过程中发现，当半径为2时，可以绘制出理想的圆形，如果将半径改为1，则绘制出的是椭圆形，如图7所示。为什么会这样呢？图形的形状说明x的值发生了改变，但y值好像没有随着改变。
图7 测试结果出乎意料
经过一番排查，发现错误出在画曲线按钮的点击事件处理程序中，如图8所示，将第二行的错误改正后再来测试，结果显示正常，有兴趣的读者可以自行测试一下。
图8 修改bug
六、讨论
本文用两种方法绘制了圆，两种方法的差别在于循环变量的选取，当选择x坐标为循环变量时，需要分别计算y大于0和y小于零时的函数值，而且求值的过程涉及求平方根的运算；当选择角度为循环变量时，需要借助于三角函数运算，但代码变得简洁明了。
在测试过程中观察小球的移动速度，发现两种情况下，以x为循环变量时，小球的速度大小会发生变化，而以角度为循环变量时，小球的速度大小不变。
最后，翻开《数与图（10）》，发现其中的图4果然是错误的。这个错误来自复制粘贴代码的操作，粘贴之后没有进行必要的修改。这里希望读者能引以为戒，同时，对于错误给大家带来的困惑表示歉意。
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