John Morgan:黎曼几何、曲率、Ricci流以及在三维流形上的应用二讲
本文是笔者在线看Lektorium上John Morgan在圣彼得堡国立大学欧拉研究所的讲座做的笔记。第一讲以如下内容组成
1. 黎曼曲面上的联络
黎曼流形(Mn,g)'>(M n ,g) (Mn,g)中，M'>M M为n'>n n维流形，而g'>g g为正定的黎曼度量，即gij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxj'>g ij (x 1 ,x 2 ,⋯,x n )dx i ⊗dx j gij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxj，而(gij)'>(g ij ) (gij)是对称正定的。
∇'>∇ ∇是联络(我们可以把它看成“方向导数”(∇X'>∇ X ∇X为求X'>X X方向))，它的定义域与值域为∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)'>∇:Vect(M)⊗ R Vect(M)×Vect(M) ∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)，也即将两个M'>M M上的向量场映射到M'>M M上的向量场，即∇X(Y)∈Vect(M)'>∇ X (Y)∈Vect(M) ∇X(Y)∈Vect(M).且满足如下三条性质：
线性性，即关于X'>X X的f∈C∞(M)'>f∈C ∞ (M) f∈C∞(M)线性，有∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)'>∇ fX+Y (Z)=f∇ X (Z)+∇ Y (Z) ∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)
但是注意到关于第二个值并没有C∞M)'>C ∞ M) C∞M)线性，就是∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y'>∇ X (fY)=f∇ X (Y)+X(f)⋅Y ∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y- X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩'>X(⟨Y 1 ,Y 2 ⟩)=⟨∇ X (Y 1 ),Y 2 ⟩+⟨Y 1 ,∇ X (Y 2 )⟩ X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩,这表示“与度量相容”，也就是∇X(g)=0'>∇ X (g)=0 ∇X(g)=0.为什么会这样呢？我们本来想象需要对Y1,Y2'>Y 1 ,Y 2 Y1,Y2以及g'>g g分别求“方向导数”，而只有两项留下来了，也就是对度量求“导数”会恒为0'>0 0.
- 无挠，也就是∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y]'>∇ X (Y)−∇ Y (X)=[X,Y] ∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y].这个定义Morgan认为他不是很明白，因为∇X(Y)'>∇ X (Y) ∇X(Y)同样可以定义为∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E)'>∇:Vect(M)⊗ R Γ(E)→Γ(E) ∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E), 其中Γ(E)'>Γ(E) Γ(E)是向量丛的截面。而无挠性不能延伸到这个定义域上，因为∇Y'>∇ Y ∇Y没有意义。
满足如上三个性质的联络成为Levi-Civita联络。于是我们有如下定理：
定理：Levi-Civita联络存在唯一
（笔者按：Levi-Civita可以用
来定义，满足以上条件）
由于在局部，我们可以用∂i(i=1,2⋯n)'>∂ i (i=1,2⋯n) ∂i(i=1,2⋯n)来张成TxM|U'>T x M| U TxM|U,我们可以令∇∂i(∂j)=Γijk∂k'>∇ ∂ i (∂ j )=Γ k ij ∂ k ∇∂i(∂j)=Γijk∂k，(从而我们通过前面知道
,从而惟一性成立）
2.测地线,高斯映射
γ˙(t)∈Tγ(t)M'>γ ˙ (t)∈T γ(t) M γ˙(t)∈Tγ(t)M,其中γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))'>γ(t)=(x 1 (t),x 2 (t),⋯,x n (t)) γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))为M'>M M上的曲线，γ˙=(x˙1(t),x˙2(t),⋯,x˙n(t))'>γ ˙ =(x ˙ 1 (t),x ˙ 2 (t),⋯,x ˙ n (t)) γ˙=(x˙1(t),x˙2(t),⋯,x˙n(t))为速度。曲率线方程即为∇γ˙(t)(γ˙(t))=0'>∇ γ ˙ (t) (γ ˙ (t))=0 ∇γ˙(t)(γ˙(t))=0。注意到∇'>∇ ∇作用在M'>M M上的向量场上，而γ˙'>γ ˙ γ˙并非向量场，所以我们需要把γ˙'>γ ˙ γ˙延拓到全流形上。（笔者按：由于d2xkdt2+Γijkdxidtdxjdt=0'>d 2 x k dt 2 +Γ k ij dx i dt dx j dt =0 d2xkdt2+Γijkdxidtdxjdt=0）
由于常微分方程解的存在惟一性，给定了γ(0)'>γ(0) γ(0)以及γ˙(0)'>γ ˙ (0) γ˙(0),我们就得到一条测地线。也就是说，我们能够构造一个从Tγ(0)M→M'>T γ(0) M→M Tγ(0)M→M的映射，也即初始向量为此向量的测地线到达的M'>M M上的点。我们设为exp:TxM→M'>exp:T x M→M exp:TxM→M,在起点的领域B(0,ϵ)'>B(0,ϵ) B(0,ϵ)上有定义。
3.曲率
我们有了零阶的信息（度量），一阶信息（测地线、联络），那么二阶信息是什么呢？我们认为是曲率
问题如下：一个度量的几何性质是怎么样的（我们能从度量的句子(gij)'>(g ij ) (gij)中获得什么信息）
在单点上，实际上度量没有任何信息，所有的度量都是等价于标准的欧氏度量，我们可以通过坐标变换把矩阵变成对角阵，从而得到标准度量。
这样的标准性能到几阶呢？似乎我们只能最多到2阶。曲率是唯一的几何不变量。而有定理:高斯度量完全由曲率决定（也就是局部来说，黎曼曲率包含了所有信息）
我们还没有定义曲率，曲率定义如下：R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]'>R(X,Y)=∇ X ∇ Y −∇ Y ∇ X −∇ [X,Y] R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y],由于Levi-Civita联络的定义我们知道R(X,Y)f=0'>R(X,Y)f=0 R(X,Y)f=0成立。
引理：曲率对于X,Y'>X,Y X,Y关于C∞(M)'>C ∞ (M) C∞(M)成立，即R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z'>R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z,它对X,Y'>X,Y X,Y反对称。
奇迹的是，我们可以计算,对于Z'>Z Z关于C∞(M)'>C ∞ (M) C∞(M)成立，也就是R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z'>R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z。所以我们可以定义4-张量，⟨R(X,Y)Z,W⟩'>⟨R(X,Y)Z,W⟩ ⟨R(X,Y)Z,W⟩,对于四个变量都是线性的，从而定义Rijkl∂l=R(∂i,∂j)∂k'>R l ijk ∂ l =R(∂ i ,∂ j )∂ k Rijkl∂l=R(∂i,∂j)∂k。
将符号降下来，可以定义Rijkl=gmkRijkm=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩'>R ijkl =g mk R m ijk =⟨R(∂ i ,∂ j )∂ l ,∂ k ⟩ Rijkl=gmkRijkm=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩.,通过前面我们知道Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)'>R ijkl (dx i ∧dx j )⊗(dx l ∧dx k ) Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)为在⋀2TM'>⋀ 2 TM ⋀2TM上的对称2-张量。
黎曼定义的曲率来源于高斯曲率的定义
也就是在曲面上一点附近的测地圆（也就是以|x|≤ϵ'>|x|≤ϵ |x|≤ϵ为半径的TxM'>T x M TxM上的向量用高斯映射映至的区域）和平面上的圆相差多少？高斯认为是
定义为高斯曲率（实际上我们通常定义不是这样的，定义的等价性成为Bertrand–Diquet–Puiseux定理）
此时，⋀2TM=R'>⋀ 2 TM=R ⋀2TM=R,而黎曼曲率R:R→R'>R:R→R R:R→R仅为乘上高斯曲率。
定理(Cartan)：我们有关于黎曼曲率R'>R R对于度量exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn))'>exp ∗ (g ij (x 1 ,x 2 ,⋯,x n )) exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn))（被称为高斯度量）的公式。(Do carmo第八章第2节)
也就是在指数映射exp:Rn→M'>exp:R n →M exp:Rn→M拉回,我们在Tp(M)=Rn'>T p (M)=R n Tp(M)=Rn原点附近有度量exp∗(g)=g^'>exp ∗ (g)=g ^ exp∗(g)=g^。g^'>g ^ g^有基于R'>R R的公式。（g^'>g ^ g^ is identity up to 2-nd order,这句话没懂是什么意思）也就是度量在坐标变换，也就是同胚群作用的意义下只与黎曼曲率相关。
所以我们可以知道，如果一个度量在某个邻域内为欧氏度量当且仅当黎曼曲率为0.
最后我们给出Ricci曲率的定义：Ricijdxi⊗dxj'>Ric ij dx i ⊗dx j Ricijdxi⊗dxj为对称2-张量，有Ricij=gklRiklj'>Ric ij =g kl R iklj Ricij=gklRiklj.
4.整体性质
局部来看，在坐标变换的意义下，度量完全被曲率所决定。但是在整体性质却不一样，一般来说度量的性质不完全由曲率决定。黎曼流形除了曲率外有更多整体不变量。比如一个范例如下：
对于紧平的曲面（黎曼曲率为0且有界），我们考虑环面(T2,g)'>(T 2 ,g) (T2,g),(R2,g)'>(R 2 ,g) (R2,g) 为欧氏空间,万有覆盖映射π:R2→T2'>π:R 2 →T 2 π:R2→T2.由于T2'>T 2 T2的同伦群π1(T2)=H1(T2)⊂R2'>π 1 (T 2 )=H 1 (T 2 )⊂R 2 π1(T2)=H1(T2)⊂R2是格Λ'>Λ Λ.从而T2≅R2/Λ'>T 2 ≅R 2 /Λ T2≅R2/Λ为等距同构。
我们就来研究格，格的基为v1,v2'>v 1 ,v 2 v1,v2
用复数表示为v2=τv1,τ∈C'>v 2 =τv 1 ,τ∈C v2=τv1,τ∈C,我们选择定向，使得τ∈H2'>τ∈H 2 τ∈H2.而由于在行列式为1'>1 1的整数矩阵变换下格不变，所以[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}'>[τ]∈H 2 /SL 2 (Z)≅S 2 −{∞} [τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}.同时R+=area(T2)'>R + =area(T 2 ) R+=area(T2)，所以我们有一族平的环面构成的3维实空间，它们都有相同的度量（平整度量）
对于更高的亏格会如何呢？对于Σg(g>1)'>Σ g (g>1) Σg(g>1)，我们用(H2,g),g=dx2+dy2y2'>(H 2 ,g),g=dx 2 +dy 2 y 2 (H2,g),g=dx2+dy2y2进行覆盖，而H2'>H 2 H2在实2×2'>2×2 2×2的矩阵下不变。所以Σg'>Σ g Σg有H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)'>H 2 /Γ,Γ⊂PSL 2 (R) H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)给出。这样的双曲度量形成了6g−6'>6g−6 6g−6维的空间。
但在更高维，情况就不一样了。我们可以类似地定义Hn'>H n Hn以及它的度量。同样具有常截曲率−1'>−1 −1。而同理得到的流形Hn/Γn'>H n /Γ n Hn/Γn 由于Mostow Rigidity定理，是唯一的。其中Γn'>Γ n Γn为基本群。也就是说，例如在3维，固定了基本群，我们只能得到至多一个度量。
5.极限——几何极限与Gromov-Hausdorff极限
如何定义一族流形{(Mn,gn,xn∈Mn)}n=1∞'>{(M n ,g n ,x n ∈M n )} ∞ n=1 {(Mn,gn,xn∈Mn)}n=1∞趋近一个极限流形(M∞,g∞,x∞)'>(M ∞ ,g ∞ ,x ∞ ) (M∞,g∞,x∞)(其中x'>x x为基点)?我们通过一个例子进行讲述：假如Mn=M,xn=x'>M n =M,x n =x Mn=M,xn=x,只有gn=λn2g,λn2→∞'>g n =λ 2 n g,λ 2 n →∞ gn=λn2g,λn2→∞,在平常我们的想象中，应该有流形趋近于它的切空间，也就是(TxM,g|x)'>(T x M,g| x ) (TxM,g|x),就像一个无限大的球面在局部来看就趋于平面一样。
我们来定义几何极限，也就是存在开区间Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯'>U n ⊂M ∞ ,x ∞ ∈U n ⊂U n+1 ⊂⋯ Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯,且 ⋃nUn=M∞'>⋃ n U n =M ∞ ⋃nUn=M∞，其中Un'>U n Un满足存在嵌入φn:Un↪Mn,φn(x∞)=xn'>φ n :U n ↪M n ,φ n (x ∞ )=x n φn:Un↪Mn,φn(x∞)=xn,且φn∗(gn)→g∞'>φ ∗ n (g n )→g ∞ φn∗(gn)→g∞在任意的紧集上一致收敛。就如一些例子：
在基点选为红色的点，我们不断拉长拉瘪中间的柄，得到就是红色的流形，这也说明极限流形的拓扑性质会改变，亏格由3变为1。
如果点在右边那段上，则收敛到的流形亏格为2.
但如果放在中间的柄上，最后会怎么样的？我们期望它收敛到一条直线，而这显然不可能由几何收敛做到，我们就引入Gromov-Hausdorff这种“弱收敛”来解决这个问题。
以下是第二讲的内容。
首先我们回顾了黎曼曲率的定义R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩'>R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩ R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩,其中R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]'>R(X,Y)=∇ X ∇ Y −∇ Y ∇ X −∇ [X,Y] R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y].而截曲率是定义在TxM'>T x M TxM的二维子空间P'>P P上，令X,Y'>X,Y X,Y为P的基，那么截曲率定义为R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩'>R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩ R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩(这样定义黎曼曲率是由于，如果定义为⟨R(X,Y)X,Y⟩'>⟨R(X,Y)X,Y⟩ ⟨R(X,Y)X,Y⟩,球的黎曼曲率会变为−1'>−1 −1,与历史上定义球的高斯曲率为1'>1 1不符。我们将在下面的计算中看到这点。)
6.球的截曲率的计算
我们考虑球的赤道，只需要计算赤道上每一点的截曲率，由于对称性，我们就可以解出所有点的截曲率。令y'>y y为“经度”，x'>x x为“纬度”，且令X=∂x,Y=∂y'>X=∂ x ,Y=∂ y X=∂x,Y=∂y,有
由于Y'>Y Y是测地线，则∇Y(Y)=0'>∇ Y (Y)=0 ∇Y(Y)=0，我们需要计算∇X(Y)'>∇ X (Y) ∇X(Y).而由于我们需要对Y'>Y Y求方向导数，即考察y'>y y方向在水平面上的投影向量求导，为−siny∂x'>−siny∂ x −siny∂x,再乘以圆的半径cosy'>cosy cosy,得到∇X(Y)=−cosysiny∂x'>∇ X (Y)=−cosysiny∂ x ∇X(Y)=−cosysiny∂x.由于我们再考虑的是在y=0'>y=0 y=0的值，所以不考虑∇Y(∂x)'>∇ Y (∂ x ) ∇Y(∂x)因为前面系数为0.从而有
从而⟨R(X,Y)Y,X⟩=1'>⟨R(X,Y)Y,X⟩=1 ⟨R(X,Y)Y,X⟩=1成立
7.度量放大后黎曼曲率与Ricci曲率的变化
接下来我们讨论是当度量放大λ2'>λ 2 λ2倍后，即h=λ2g'>h=λ 2 g h=λ2g，各个曲率将会如何变化？我们计算得知黎曼曲率R(X,Y,Z,W)'>R(X,Y,Z,W) R(X,Y,Z,W)放大了λ2'>λ 2 λ2倍，而Ricci曲率Ric(X,Z)'>Ric(X,Z) Ric(X,Z)与原来相等。这是注意到前面提过的
∇∂i(∂j)=Γijk∂k'>∇ ∂ i (∂ j )=Γ k ij ∂ k ∇∂i(∂j)=Γijk∂k，且Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)'>Γ k ij =12 g lk (∂ j g ki +∂ i g jk −∂ k g ij ) Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)成立，也就是说，由于gij'>g ij gij变为原来的λ2'>λ 2 λ2倍，而glk'>g lk glk变为原来的λ−2'>λ −2 λ−2倍，也就是Γ'>Γ Γ没有变化。那么∇X(Y)'>∇ X (Y) ∇X(Y)也没有变化。但是由于内积⟨,⟩'>⟨,⟩ ⟨,⟩变为原来的λ2'>λ 2 λ2倍，就是R(X,Y,Z,W)'>R(X,Y,Z,W) R(X,Y,Z,W)变为原来的λ2'>λ 2 λ2倍。
但是我们会观察到，当球面增大的时候，它的高斯曲率反而变小了，这是因为向量的“减小”导致的。由于在新的度量下，原来的单位向量X,Y'>X,Y X,Y必须变为新的单位向量λ−1X,λ−1Y'>λ −1 X,λ −1 Y λ−1X,λ−1Y.对于截曲率我们就有
而且对于Ricci曲率，我们计算得到
是由于Yi'>Y i Yi是正交向量场，在原坐标下是λ−1Yi'>λ −1 Y i λ−1Yi才是正交向量场，也就是Ricci曲率没有变化。
8.Bishop-Gromov不等式
我们同时给出黎曼曲面内著名的比较定理：Bishop-Gromov不等式
M为n'>n n维完备流形，且Ricci曲率满足Ric≥(n−1)k'>Ric≥(n−1)k Ric≥(n−1)k,那么对于Hkn'>H n k Hkn,也就是常截曲率k'>k k(换言之，常Ricci曲率(n−1)k'>(n−1)k (n−1)k)的n'>n n维流形。（k<0'>k<0 k<0双曲空间，k=0'>k=0 k=0欧氏空间，k>0'>k>0 k>0球面），那么对于∀x∈M,∀x0∈Hkn'>∀x∈M,∀x 0 ∈H n k ∀x∈M,∀x0∈Hkn,有函数
f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))'>f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x 0 ,R)) f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))是关于R'>R R非增的函数。其中
这个定理在全局的意义下也成立，是由于M'>M M在R'>R R增大的时候B'>B B会倒塌。
9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解
Ricci流的定义如下：在M'>M M上的度量g(t)'>g(t) g(t)满足
是弱双曲方程。它在短时间内是存在唯一的。具体刻画是：
存在性：给定Mn'>M n Mn为紧的，度量g0'>g 0 g0,则∃ϵ>0,'>∃ϵ>0, ∃ϵ>0,存在光滑的g(t)(0≤t≤ϵ)'>g(t)(0≤t≤ϵ) g(t)(0≤t≤ϵ) ,满足g(0)=g0'>g(0)=g 0 g(0)=g0且满足该方程。
惟一性：对于g(t),h(t)'>g(t),h(t) g(t),h(t)为解，且g(0)=h(0)'>g(0)=h(0) g(0)=h(0),那么在共同的定义域上g=h'>g=h g=h。
对于某些特殊流形我们可以研究Ricci流的显式解。比如Einstein流形，也就是(M,g)'>(M,g) (M,g)为流形，且满足Ric(g0)=λg0'>Ric(g 0 )=λg 0 Ric(g0)=λg0,其中λ'>λ λ为常数。
那么该Ricci流的解为g(t)=(1−2λt)g0'>g(t)=(1−2λt)g 0 g(t)=(1−2λt)g0。因为∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t))'>∂g(t)∂t =−2λg 0 =−2Ric(g 0 )=−2Ric(g(t)) ∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t)),最后一个等号成立是由于g(t)'>g(t) g(t)是g0'>g 0 g0的倍数，利用前面的放大性质得到。
所以当λ>0'>λ>0 λ>0,在t=1/2λ'>t=1/2λ t=1/2λ的时候为奇点，由于流形退化了。比如一个球会退化到一个点上，这种现象对于λ>0'>λ>0 λ>0的黎曼流形都成立。
当λ<0'>λ<0 λ<0,g(t)'>g(t) g(t)对与所有t'>t t成立。考虑g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0'>g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg 0 →2|λ|g 0 g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0是一个有限的极限。这个极限也是Perelman用来在3维的Ricci流中寻找无穷远的双曲部分使用的方法。他考虑的是在体积不倒塌的区域上，取缩小为1/t'>1/t 1/t,那么这个区域与其度量收敛到双曲3维流形。
其他可以计算Ricci流的方程为积流形，也就是两个流形的笛卡尔积。例如S2×R'>S 2 ×R S2×R,有度量gs2+dt2'>g s 2 +dt 2 gs2+dt2,在t→∞'>t→∞ t→∞时候，原来的流形缩至一条直线。除了这些流形以为，我们没法给出更多整体的Ricci流的性质
10.怎么研究Ricci流？
怎么研究Ricci流？我们有三种方法可以使用：
- 直接计算方程，正是我们前面使用的
- 极大值原理——在一定范围内控制数量曲率
- Bishop-Gromov不等式的双曲形式
第一个方法，我们使用对于体积的估计，我们知道，体积的定义是
那么如果∂g(t)∂t=−2Ric(t)'>∂g(t)∂t =−2Ric(t) ∂g(t)∂t=−2Ric(t),则ddtvol(U)=∫U−Rdvol'>ddt vol(U)=∫ U −Rdvol ddtvol(U)=∫U−Rdvol,其中R'>R R为数量曲率。这是由于
所以这也表明了，正的数量曲率代表这体积在变小，负的数量曲率体积变大
第二个方法，就是
其中Ric0=Ric−Rng'>Ric 0 =Ric−Rn g Ric0=Ric−Rng为迹0的Ricci曲率（也就是正交分解）。所以对于Rmin(t)=minx∈M(R(x,t))'>R min (t)=min x∈M (R(x,t)) Rmin(t)=minx∈M(R(x,t)),我们有
成立，是由于其他两项都大于等于0.而同理可得对于固定的y'>y y,dR(y,t)dt≥2nR2(y,t)'>dR(y,t)dt ≥2n R 2 (y,t) dR(y,t)dt≥2nR2(y,t).通过这里我们有两个推论。
1.Rmin(t)'>R min (t) Rmin(t)单调递增
2.若Rmin(0)>0'>R min (0)>0 Rmin(0)>0，那么在有限时间内会爆破，也就是Rmin'>R min Rmin达到无穷。而若Rmin(0)<0'>R min (0)<0 Rmin(0)<0,则
也即它的渐进下界为−n/(2t)'>−n/(2t) −n/(2t).