数学一轮复习27，等差数列及其前n项和，经典母题

【考试要求】

1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；

4.体会等差数列与一次函数的关系.

【知识梳理】

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

【微点提醒】

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

【考点聚焦】

考点一　等差数列基本量的运算

【规律方法】

1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

考点二　等差数列的判定与证明

【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.

【规律方法】

1.证明数列是等差数列的主要方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.

(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.

2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：

(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.

(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.

考点三　等差数列的性质及应用

角度1　等差数列项的性质

【规律方法】

1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.

2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

(2)S2n－1＝(2n－1)an.

考点四　等差数列的前n项和及其最值

【规律方法】　求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.

(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.

【反思与感悟】

1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列.

2.等差数列基本量思想

(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.

(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.

若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.

【易错防范】

1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.

2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.