2020普林斯顿数学竞赛 (PUMAC) 团体赛 中文翻译

这个考试本应于2020年12月初举办，由于疫情推迟至2021年3月进行。

团体赛

1.求最大的正整数, 使得我们至少需要个的小方块, 才能覆盖一个的方格表.(可以重复)

2.智多星在学习摊煎饼. 他每次摊煎饼成功的概率为(互相独立).而且他缺乏耐心, 所以如果他连续失败几次就会放弃. 具体情况是这样的: 初始时, 智多星因为煎饼失败而放弃的概率为. 如果智多星连续成功次, 那么他因为煎饼失败而放弃的概率就会被重置为. 相反的, 如果智多星某次摊煎饼失败了, 那么他放弃的概率就会由上升至.
设智多星最终成功制造的煎饼个数为, 其中为互素的正整数, 求 .

3.甲乙两人玩猜数字游戏. 乙先准备一个形如的正整数, 其中为正整数. 在每一步中, 甲猜一个正整数, 然后乙可以自行决定告诉甲的最大公约数还是最小公倍数.
(例如, 乙准备的数是,甲猜, 则乙可以说"这俩数的最大公约数是", 也可以说"这俩数的最小公倍数是)
当时, 游戏结束. 那么, 甲至少需要进行多少步, 才能保证游戏一定结束?

4.求满足以下两个条件的所有点的个数:
若在以原点为圆心,以为半径的圆上, 且直线与这个圆相切, 则的长度为整数.
点的横坐标为.

5.若两个多边形的有一条边长度相同, 我们可以将它们移动到一起, 使得这条长度相同的边重合,以上过程称为一次"拼接". 已知有一个直角三角形, 直角边长为, 被若干直线切成片多边形, 且这片多边形可以"拼接"成一个周长不少于的多边形. 求的最小值.

6.若一个由到组成的字符串满足以下两个条件, 就称它是好的:
对任意, 任意连续个字符的和不为.
对任意两个字符, 他们之间至少有个其他字符.
若所有长度为的好的字符串共有个, 求的最后四位.

7.在半径分别为的同心圆弧上各取一点. 若的面积的最大值为 , 求 .

8.老虎威廉十分调皮. 它从原点出发, 先随机选一个方向跳出去米, 再随机选一个方向跳出去米,...最后随机选一个方向跳出去米. 以原点为圆心, 作一个面积为的圆, 则老虎威廉最终的位置(看作一个点)在圆内的概率为 . 求的值.

9.考虑一个内接于单位圆的边形. 从中选择个点, 使得它们组成一个等腰三角形. 设这个等腰三角形的面积的期望为. 若可以表示为 ,其中为正整数, 计算.

10.设表示所有项均为大于的正整数, 且所有项乘积为的数列的个数. 若可以表示为,其中为奇数, 求的值.

11.在平面上随机取三个坐标均为之间的整数的点(不一定要互不相同).设它们组成的三角形面积为整数的概率为,其中为互素的正整数 . 求.
(若这三个点共线, 则它们所组成的三角形面积为)

12.对数列, 设它的线性回归数列为使得最小的等差数列 .设这个值为它的线性偏移. 求其线性回归数列为,且线性偏移不超过的正整数列的个数.

13.甲乙两人玩一个游戏. 甲声称他准备了一个整系数多项式, 乙并不相信. 于是乙从开始, 依次询问对正整数, 的值.
此时, 如果甲真的准备了多项式, 他会如实回答, 否则, 他会在中随机选一个数作为答案. 每次选择的过程互相独立.
乙可以当场判断,根据当前信息, 甲生成的多项式是否真的存在.
若甲确实没有准备多项式, 设甲坚持到第回合的概率为, 其中的素因数分解式为, 求的值.

14.设表示满足以下条件的凸边形的个数:(旋转的视为同一个)
它的每条边的长度均为.
它的每个内角度数均为的倍数.
求被除的余数.

15.函数 满足, 对任意 , 均有 已知 且 ,求的值.