初中数学重难点突破之辅助线系列(五 )
一、基本解题思路方法
二、辅助线的应用
为了证（解）题的需要，在原图上所添画的线叫辅助线。在平面几何里的辅助线通常要画成虚线。它的作用是：把题中分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，以便于为应用公理、定理或等量转化等创造必要的条件。这样辅助线便起了一个牵线搭桥的作用。
1．垂直平分线的辅助线
2．角平分线的辅助线
3．截长补短
【典型题1】如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .
我们可通过添加辅助线,在AB上“构造”一条线段AE使其为求证中的一条线段AC，再证BE和CD相等；或者通过添加辅助线，延长短线段AC，在证明延长后的线段和AB相等。其本质还是通过构造全等三角形来实现。
证法一：截长法：
如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.
∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .
∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE.
∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD .
证法二：补短法：
如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .
∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .
∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .
∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .
∵∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.
又∵AE＝AC＋CE，
∴AB＝AC＋CD .
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