【2021中考】陕西名校最值压轴题解析
《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。
问题提出
(1)如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB=8，则点P到直线l的距离的最大值为______.
问题探究
(2)如图2，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=45°，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF:S△BFD的值.
问题解决
(3)如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=90°，AB=60m，BC=80m，M是AB上一点，且AM=20m.按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN=25m.已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元?
(1)
(2)易证△ADC≌△BDF，所以∠EBC=∠DAC，BD=AD，因为AB=BC，且∠ABC=45°，所以∠BAC=∠BCA=67.5°。而∠BAC=45°，所以∠DAC=∠EBC=22.5°，因为∠ABC=45°，所以BE平分∠ABC，过点F作FG⊥AB，则FG=FD，因为AF=√2FG，所以AF=√2FD，所以S△ABF:S△BFD=√2。
（3）因为AM:BM=1:2，所以S△BMN=2S△AMN，设预算为y元，则y=200S△AMN+100S△BCN=100（2S△AMN+S△BCN）=100（S△BMN+S△BCN）=100（S△BMC+S△MNC）
因为△BMC的面积为定值，故只需求△MNC面积的最小值即可。
△MNC中MC为定边，要使得△MNC的面积最小，则点N到MC的距离最小，因为DN=25m，故点N是D为圆心25m为半径的圆上一点，MC为定线，问题转化为圆上一动点到定直线距离的最值。N到MC距离的最小值等于点D到MN的距离-圆的半径（25），接着按序计算解可。