x³ y³ z³=3 第三组整数解是多少，这个 58 年难题被 40 万台电脑算出来了

来自量子位

你在看到标题的时候，一定会想：

这个问题我知道答案：x、y、z 都等于 1。

如果再多算几步，你还能发现 4、4、-5 也是一组整数解。

注意审题，以上只是方程 x³+y³+z³=3 的前两组整数解，第 3 组整数解是多少，你知道吗？

1953 年，数学家 Louis Mordell 提出一个疑问：这个第 3 组整数解，它存在吗？

最近，这组解终于被找到了。

警告一下，千万别尝试用穷举法编程！

因为这 3 个数远远超出了长整型的范围，但数学家还是动用了 40 万台电脑把答案找出来了。

另外，这两位数学家还把程序代码开源了。

当然，他们并非暴力搜索。这时候数学的作用就来了：它能为你提供算法，告诉你搜索范围，大大缩小搜索空间。

一个正整数能否表示成三个整数的立方之和（x³+y³+z³=k），关于它的每次发现都能引起不小的轰动。

这个看似没技术含量的问题，其实困扰了数学界很久。

三个立方数之和

1992 年，数学家 Roger Heath-Brown 提出了一个猜想：对于一个正整数 k，如果它除以 9 的余数不是 4 或 5（k 不等于 9n±4），那么 k 就可以表示成三个整数的立方之和。

而且每个 k 都有无穷多组整数解。

对于 k 小于 100 的情况，2019 年之前只有 k=33、42 没有找到整数解。

2019 年 3 月，33 告破：

33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³

2019 年 9 月，麻省理工的 Andrew Sutherland 和布里斯托大学 Andrew Booker 的两位安德鲁找到了 42 的答案：

42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

当时，菲尔兹奖得主、剑桥大学教授 Timothy Gowers 还转推 “祝贺”。

虽然 100 以内的数皆告破，但几十年间却没有关于 k=3 的新解，许多人开始相信这个所谓的新解根本不存在，Heath-Brown 猜想也是错的。

但是，在找到 42 的答案之后，这两位安德鲁很快就出乎意料找到了 k=3 的第三组整数解：

3 = 569936821221962380720³ + (-569936821113563493509)³ + (-472715493453327032)³

数学化简

为了找到 42 和 3 的解决方案，两位数学家从现有算法开始，将立方和公式转化为他们认为更容易求解的形式：

他们将 x+y 看做一个参数 d，进一步修改了算法，然后将两边都除以 d 求余数（数学中记作 mod d）

这样问题就变成 k 除以 d 的余数是 z³。

这样，只需寻找 d 和 z 的值，即可保证找到对应于 k=3 的 x、y、z。

即便如此，搜索的数字空间也是无限大的。因此，他们通过使用数论中的 “筛法”，极大地减少了 d 范围，将 xyz 的搜索范围降到 10 的 15 次方以内。

拆解任务

两位安德鲁还开发了将搜索算法拆分成几十万个并行处理流的方法。

如果仅在一台计算机上运行该算法，则要花几百年的时间才能找到答案。而通过将工作分为几十万个较小的任务，就可以在个人电脑上运行，进一步加快搜索速度。

在 2019 年 9 月，研究人员通过 Charity Engine 实施了这项计划，借用普通用户的家用电脑资源，共同解决难题。

当时，全球加入 Charity Engine 分布式计算项目的计算机超过 40 万台。两位安德鲁将他们的算法部署在平台上。

（注：Charity Engine 项目还帮助科学家解决了一个蛋白质折叠问题，发了一篇 Science。）

最终，这项工作被分为大约 40 万个任务，每个任务需要一台计算机花费大约 3 个小时才能完成。

很快，全球各地的电脑返回的 k=42 的第一个整数解。

而仅仅两周后，他们已经发现，k=3 的第 3 个整数解就找到了，他们还把这组解印在了 T 恤上。

至此，Mordell 在 68 年前的问题终于得到解答。

那么问题又来了 x³+y³+z³=3 的第 4 组解是多少？

可能有生之年很难见到了，因为求下一组解需要的计算量是现在的 1000 万倍，需要 4 万亿台电脑才能算出，而且可能还不够。

△ 论文作者之一 Andrew Sutherland

Sutherland 说：“我不知道我们是否会知道第四个解，但是我确信它存在。”

参考链接：
[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html
[2] https://www.pnas.org/content/118/11/e2022377118
[3] https://github.com/AndrewVSutherland/SumsOfThreeCubes

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