初中数学精讲（第23期）因式分解通关题

  各位同学、朋友们大家好：

  今天我们继续初中数学数与式的精练；我们来训练因式分解，提升自己的解题能力。

（知识点回顾）把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

二．填空题（共10小题）

1．已知x+y=10，xy=16，则x²y+xy²的值为．

2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．

3．若多项式x²+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．

4．分解因式：4x²﹣4x﹣3=．

5．利用因式分解计算：202²+202×196+98²=．

6．△ABC三边a，b，c满足a²+b²+c²=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．

7．计算：1²﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…﹣100²+101²=．

8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0．

其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．

9．如果1+a+a²+a³=0，代数式a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸=．

10．若多项式x²﹣6x﹣b可化为（x+a）²﹣1，则b的值是．

三．解答题（共20小题）

11．已知n为整数，试说明（n+7）²﹣（n﹣3）²的值一定能被20整除．

12．因式分解：4x²y﹣4xy+y．

13．因式分解

（1）a³﹣ab²

（2）（x﹣y）²+4xy．

14．先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若m²+2mn+2n²﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：∵m²+2mn+2n²﹣6n+9=0

∴m²+2mn+n²+n²﹣6n+9=0

∴（m+n）²+（n﹣3）²=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题：

（1）若x²+2y²﹣2xy+4y+4=0，求x^y的值．

（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？

15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20这三个数都是和谐数．

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．

16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a²+3ab+2b²分解因式．

（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．

（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．

17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；

②由此，你可以得出的一个等式为：．

（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；

②请你用拼图等方法推出2a²+5ab+2b²因式分解的结果，画出你的拼图．

18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ

（1）计算s₂；

（2）请阅读下面计算s₃的过程：

因为a+b=1，ab=﹣1，

所以s₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）﹣ab（a+b）=1×s₂﹣（﹣1）=s₂+1=

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s₃的计算结果，再用你学到的方法计算s₄．

（3）试写出s_n﹣2，s_n﹣1，s_n三者之间的关系式；

（4）根据（3）得出的结论，计算s₆．

19．（1）利用因式分解简算：9.8²+0.4×9.8+0.04

（2）分解因式：4a（a﹣1）²﹣（1﹣a）

20．阅读材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）²+（n﹣4）²=0，∴（m﹣n）²=0，（n﹣4）²=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x²+2xy+2y²+2y+1=0，求x﹣y的值．

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．

（3）已知a﹣b=4，ab+c²﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．

21．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得x²﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n          解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

问题：

（1）若二次三项式x²﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；

（2）若二次三项式2x²+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；

（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x²+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．

22．分解因式：

（1）2x²﹣x；

（2）16x²﹣1；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）²．

23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），试确定三角形的形状．

24．分解因式

（1）2x⁴﹣4x²y²+2y⁴

（2）2a³﹣4a²b+2ab²．

3   把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.

25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的面积为；

（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）²、（m﹣n）²、mn之间的等量关系是．

（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）²=．

（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．

如图③，它表示了．

（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m²+4mn+3n²．

26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c²+16=0，求2a+b+c的值．

27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：这个长方体的体积．

28．（x²﹣4x）²﹣2（x²﹣4x）﹣15．

29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）²

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）²（1+x）

=（1+x）³

（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，则需应用上述方法次，结果是．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数）．

30．对于多项式x³﹣5x²+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x³﹣5x²+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x³﹣5x²+x+10=（x﹣2）（x²+mx+n），

（1）求式子中m、n的值；

（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x³﹣2x²﹣13x﹣10的因式．

以上30题每一条5分总分150分，用时限制在60分钟。