关于 “Li-Yorke 浑沌” 的故事

李天岩教授(1945--2020)在科学界，关于浑沌 (Chaos) 现象和奇异吸引子 (Strange Attractor) 的研究领域里，名气最大的奇异吸引子大概就是所谓的 Lorentz 吸引子吧。在 Lorentz 吸引子成名的过程中，有一个关键性的教授 Allen Feller 的名字却很少有人知道。我在美国马里兰大学作研究生时，我的博士论文的指导教授 J.A. Yorke 先生所属的研究所是流体动力学与应用数学所（现在已更名为物理科学与技术研究所）。那个研究所 所包含的领域非常之广。比如说，固态物理、等离子体物理、化学工程、应用数学, 等等。其中有一个非常奇怪的小组，叫做气象组，A. Feller 是这个小组的教授。大约在1972年时，Feller 教授将 E.N. Lorentz 所写关于“气象预测”模型 的 4 篇文章交给 Yorke 教授。当时 Feller 教授觉得 Lorentz 的文章太过于理论化、数学化，他们不感兴趣。也许我们搞数学的会比较感兴趣。那 4 篇文章都是在气象的期刊上登的。若不是 Feller 教授，我们也许不太可能有机会接触到它。那段时间，我们读了那几篇 Lorentz 写的文章，觉得很有意思。在1973年4月中的一天下午，我到 Yorke 教授的办公室。那时他对我说：“I have a good idea for you!（我给你一个好点子！）”那时我在做微分方程方面的研究。我以为他所谓的“good idea”是关于微分方程方面的高深 idea。但是我却开玩笑地说：“Is your idea good enough for Monthly?”

Yorke 教授Monthly（编者按：指《American Mathemaical Monthly》）是一个相当普遍的月刊。它就好像日本的《数学研讨班》一样，是一般学生都能看懂的浅近杂志。它并不刊载非常高深的 idea。（这种学生向老师开玩笑的事，在美国非常普遍，但是在国内好像并不多见。）Yorke 教授听了我的话后，只是笑了一下。当时他告诉我的 idea 就是后来出名的 Li-Yorke 定理：对于一个从到上的函数，我们用来代表。如果对一点，我们有,，则我们称 a 是周期 k 的点。定理：假设 f 是从实数空间 R 到实数空间 R 的连续函数。同时假设 f 有一周期 3 的点。则(a)对任何一个正整数 n，都存在一个周期 n 的点 xn(b)存在一个不可数的子集合 S，对其中的任何两点

。我们有

以及

的性质对任何一周期点

以及 S 里的点 x，我们有

这个 idea 的原始出发点是在 Lorentz 那些文章之中。我听了这个 idea 之后，马上感慨的说：“It will be a perfect work for Monthly!”的确是如此，因为它根本不牵涉高深的语言。一般学生都应看得懂，不是吗?大约两星期后，我就完全证明了这个定理，证明过程中所用到的只是初等微积分里的“介值定理”，写的不是太“高深”。我们将它写好之后，就真的投到 Monthly 去了。那时那篇文章的参考文献只有 Lorentz 的那 4 篇文章。没想到，没过多久那篇文章就被 Monthly 退回。他们说，我们这篇文章过于偏向“研究性”，并不适合Monthly这个期刊的读者。因此，他们建议我们将原稿转寄其他的期刊。但是我们若一定要投回Monhly，他们建议我们把它改写到一般学生都看得懂的地步。文章退回以后，Yorke 教授还是坚持要寄回 Monthly，因为 Monthly 比较一般化，它的读者群非常之大。（其实，我真恨不得他能同意我转寄别的期刊。）当初我们研究这个问题，以及写这篇文章，只是著迷于它本身的趣味。这和我博士论文的内容根本无关。因此我并没有花功夫去改它。事实上，我也不知道该怎么改。于是乎，这篇文章就在我桌上躺了将近一年。1974年是 马里兰大学数学系的生物数学的“特殊年”。在这一年里，每星期都要请“生物数学”这个领域里最杰出的学者来校演讲。在5月的第一个星期，他们所邀请的学者是赫赫有名的 Robert May 教授。他是当时普林斯顿大学生物系的教授。R. May 教授在那一星期中，每一天都给一个演讲。最后一天演讲的内容是函数0<r<4 的 迭代，这个函数在他们生物界的领域里是一个非常重要的模型。通常被称为“Logistic 模型”。

May教授(1936--2020)关于这个函数的 迭代，现在已是举世皆知。但是 R. May 教授当时只是述说了前面一部分较规则的动态。也就是说，当 r 较小时我们做这样的 迭代，对于“任意”取的 ,{} 这个数列最后都趋于一个点。但是当 r 慢慢变大，当它超过 3 时，{} 这个数列却走向一对周期二的点。当r 再变大，而超过某一个数值时，{} 走向一组周期 4 的点。然后，随 r 的逐渐变大，{} 最后会趋近一组周期的点。但是当 r 大于某个数值后，却会出现一些“奇怪的现象”。比方说，对于某些 r 来说{} 最后走向一组周期 5 的点，对于某些 r 来说 {}最后趋近一组周期 6 的点。对于某些 r 来说{} 在两个区间之间跑来跑去。尤其当 r=4 时，{}这个数列在 [0,1]这个区间跑来跑去。当时，R. May 教授无法解释这个现象。想像中也许只是计算上的误差所造成的吧。

xn+1=rxn(1-xn) 的 iteration在微分方程的理论中，有一个著名的 Poincaré-Bendixson 理论。它大概的意思是说，在 R2 上的微分方程

，若 f 是很光滑而能保证这个微分方程的解的“存在性”以及“唯一性”时，则从任何一点 x0 出发的解在有限区间里它的轨跡最后都趋近于一个周期解。这个两维空间的理论虽然在三维以上的空间里无法证明，但是大家多多少少都相信，即使在三维以上空间里的微分方程，从任何初始值 x0 出发的解，它的轨迹最后的变化还是相当“规则”的。比如说，解的轨道最后趋向 几乎周期或拟周期的解等等。若是在计算上，微分方程的解的轨道上出现非常不规则而混乱的现象，常常被认为是计算方式上的问题，或是计算上的误差。因此而时常埋没了些开创性的工作。（这种事，不幸在日本发生，下面会谈到）。现在再回头来看“Logistic 模型”的迭代xn+1=rxn(1-xn)r 比较小时，数列 {}最后趋向一组周期点，这是非常规则的变化。但是当 r大于某一个数值时，数列{} 出现非常不规则的变化。若是用 Li-Yorke 定理来解释，这种不规则的混乱现象并不一定是计算方式的问题， 或是计算上的误差所导致的结果。事实上这些混乱现象存在于函数它自己本身的特性。Yorke 教授听完 R. May 教授的演讲后，在送 May 上飞机时， 把在我桌上躺了将近一年的那篇关于 Li-Yorke 定理的文章给他看。May看了文章的结果后，大为吃惊。他认为这个定理大大的解释了他的疑问。Yorke 教授从飞机场回来后，立刻跑来找我说：“我们应该马上改写这篇文章。” 文章在两星期内改写完成，三个月后 Monthly 接受我们这篇文章， 它登在1975年12月份的 Monthly 上。R. May 是举世闻名的教授。那年暑假时，他被邀请到欧洲到处去演讲。Li-Yorke 定理--“周期三则浑沌”，因此大为出名。Lorentz 吸引子 也跟著大为出名。特别值得一提的是 R. May 教授在来马里兰大学之前并不知道所谓的Lorentz 吸引子。所谓“奇异吸引子” 事实上是指一个动力系统的轨迹最后被一个奇异(混乱)的吸引子吸去了。也就是说，我们若追踪轨迹的路线，最后会趋近于一个混乱的状态，毫无规则可寻。上面提过，在二维空间里的微分方程(一般称微分方程为微分动力系统。)由于Poincare-Bendixson理论的保证， 这种“奇异”的吸引子不会出现。在 Li-Yorke 定理出现以前，大家多半相信即使在三维以上的空间裡， 不受「噪音」(noise)影响的微分动力系统，它的解的轨跡的长期路径多多少少追随一些规律。但是当 Li-Yorke 定理出现以后， 大家不再迷信这个定理。首先的一个例子，就是 Lorentz 吸引子（它是三维空间裡的微分动力系统）。后来大家发现“奇异吸引子”到处都是，各个领域都有。这个混乱的现象，不是人为计算上的错误或误差所造成的，而是“神的旨意”。我来日本以后才知道，其实在1960年初期， 京都大学工学院电机系的教授上田睆亮先生(Yoshisuke Ueda, 当时还是研究生)就已经在研究Duffing 方程

时，发现这种混乱的现象。这个微分方程在许多数学部门的发展史上占有相当的地位。数学家对它的研究总有七、八十年的历史了吧。当时，上田睆亮发现， 对于某些参数 r,B 而言（比如说 r=0.05,B=7.5）这个微分方程的解， 所走的轨跡当 t 很大时，它会乱七八糟的乱走一通，毫无规律可寻。这是以前从没有发现的事。因此那时不管是数学家或是工学院的教授没有人相信他所得到的结果。大家都认为，这只是他自己计算上的错误。他当时连文章该往何处投都不知道，因为没有人会慎重考虑他的结果。但是，自从一般人慢慢都能接受“奇异吸引子”的概念以后， 大家才开始相信上田睆亮教授关於 Duffing 方程的研究结果。1978年暑假，法国的名教授 D. Ruelle 来日本访问，那时他才知道上田先生的结果。Ruelle 后来到世界各地张扬。所谓上田吸引子 (Ueda Attractor)， 日本吸引子才闻名于世。遗憾的是，头彩已被 E.N. Lorentz 抢去了。我也是来到日本以后才知道，研究所谓“应用数学”的专家在日本数学界的“社会地位”非常之低。这个世界上其他国家里，是少有的现象。在世界各地，研究“浑沌现象”和“奇异吸引子”的学者大多数是应用数学界的人士。这个领域现在非常热门，研究的人非常之多。但是在日本，这方面的研究都不是“数学界”的人士在做。日本数学界的人士，很少有人知道什么是“日本吸引子”。这在我看来是非常奇怪的事。我觉得所谓的“应用数学”，应该是首先设法了解自然界上的一些现象和问题。好比说，想想为什么苹果会从树上掉到牛顿的头上，然后找出这些现象在数学上的正确描述，以及解决这些问题的方法。然后把这些现象的描述，以及解决这些问题的方法理论化，希望同时能解决一些类似的问题。理论化之后，若是遇到这个理论不能解决的问题，则要更进一步，设法推广原有的理论。这比躲在象牙塔里做些莫名其妙的抽象工作要有意思多了，我想。其实，即使在20世纪初期，一般来说，数学还只是物流的一部分，后来英国的数学家 Hardy 大力鼓吹他的观点，数学应该从物理学中独立出来，而本身成为一种“艺术”。通常所谓的艺术，它所追求的是一种“美感”。但是，每个人对美感有不同的标准。比如说，我实在不想花钱买毕加索的画（它在全球市场上，通常是上百万美元的价格），因为我真不懂它“美”在哪里。再比如说，在我们东方的古画里，其中所有的女士大多是小眼睛、细鼻梁。当西方人刚到东方时，我们都觉得他们是妖怪：大眼睛，高鼻子。可见，过去东方人对审美的观点与西方人有很大的差异。但是今天我再也看不到东方国家选去参加世界小姐选美的姑娘是“小眼睛、细鼻梁”了。我认为这是一种“文化侵略”，我们东方人输惨了。不幸的是，把数学当成艺术来看之后，大多数的东方数学家依然把西方人当作“评审员”，追求他们的标准中所谓的“美感”。应用数学的“评审员”是这个自然世界，去描述自然界的现象，去解决自然界的问题，这好像不需要去看西方人的眼色了，不是吗？