吊打区中教科八年级下数学调研试卷最后一道压轴“大题”

【原题呈现】

已知在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的一点

（1）如图 1：当四边形ABCD是正方形时，且∠EAF=45°，请直接写出线段 EF、BE、DF 三者之间的数量关系: ▲ ；

（2）如图 2：当 AB=AD ，∠B=∠D=90°，∠EAF=1/2∠BAD ，问：（1）中的数量关系是否还存在，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并直接写出EF、BE、DF 的关系．

【解题背景之定义】

我们习惯把“过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半”这样的模型，称为半角模型（也称“角含半角模型”）。

有的时候也会利用正方形来定义：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，由于两射线的夹角是正方形内角度数的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。

概括来说，所谓“半角模型”，就是某个特殊角的一半的意思，即：一个小角等于大角的一半。半角模型主要出现在四边形与等腰三角形的考题中，是初中几何的一类典型模型。

半角模型，在三角形全等、相似、四点共圆等几何问题中常有应用。常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。

【来看第一问】解题技巧：看到有相等的线段，考虑旋转，那是必须的，会柳暗花明。

【来看第二问】解题技巧：看到有相等的线段，考虑旋转，好吧，不够严谨，那么再添一个旋转的条件，必须对角互补，才可以旋转，这是旋转的必要条件，如本题强调了∠B+∠D=180°，这样才能确保E、B、F’三点共线。

【来看第三问】乍看很扎手，无从下笔，这时候怎么办？好办，看下上一问是怎么解的，那么下一问也可以尝试用上一问的解法，不出意外的话会水到渠成。

到这里，我们发现，半角模型里，好像没有什么是旋转解决不了的问题，是的，半角模型也是中考的重要考点，有一句话叫做得半角，得天下。

下面延伸一下，想给学有余力的同学提供3个有意思的小问题：

（1）如图1，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．

（2）如图1，连接BD,交AE于点M，交AF于点N，请写出BM、MN、ND之间的数量关系。

（3）如图1，，若边长为3，求△ECF面积的最小值。