素数中的意外之美——素数的可视化及其潜在意义
在日常应用中以及作为与所有数学分支相关的主题中，素数（质数）的重要性均不言而喻。我们依靠它们的特殊属性来承载我们社会无数部分的支柱——所有这一切都是因为它们是自然结构中不可少的一部分。素数通常被称为数学世界的“原子”，不能再进一步分解（整数乘）。正如卡尔·萨根所描述的那样：
质数作为所有数中最基本的组成部分的地位具有一定的重要性，质数本身就是我们理解宇宙的组成部分。
质数在自然界和我们的生活中无处不在：蝉用质数来计算它们的生命周期，钟表匠用质数来计算滴答声，航空发动机用质数来平衡空气脉冲的频率。然而，所有这些用例与每个密码学者都熟悉的一个事实相比都显得苍白无力：质数是现代计算安全的核心，这意味着质数直接负责几乎所有事情的安全。同样，加密是由质数驱动的。
然而，由于我们一直依赖它们独特的性质，素数一直难以捉摸，这是出了名的。纵观数学史，最伟大的思想家们都曾试图证明一个定理，来预测哪些数是质数，或者连续的质数在位置上的距离有多大。事实上，一些尚未解决的问题，如孪生素数、哥德巴赫猜想、回文素数和黎曼假设，都围绕着素数趋于无穷时的这种普遍的不可预测性和不确定性。当然，自从早期的欧几里得算法以来，我们已经发现了一些可以预测某些位置的算法，但是一般的定理还没有被接受，之前的尝试也没有工具来测试大量的数字。然而，21世纪的技术确实允许研究人员用非常大的数字来测试提案，但仅凭这种方法就会引发争议，因为蛮力测试并不是全球公认的可靠证据。换句话说，质数抗拒任何普遍的公式或等式，它们在自然界的出现似乎是随机的。
然而，一个简单的涂鸦证明了它们至少不是完全随机的……
质数的出现绝不仅仅是巧合，我们拥有的最有力的证据之一来自于最不可能的地方：一个无聊的演讲者毫不费力且偶然的涂鸦。
故事是这样的：1963年，波兰数学家斯坦尼斯洛·乌兰姆在一次研讨会上偶然发现了一种视觉模式。在绘制网格线的时候，他决定根据一个方形的螺旋图形来给交叉点编号，然后开始在螺旋图形中圈出质数。令人惊讶的是，这些圈起来的素数似乎是沿着对角线直线下降的，或者，用乌拉姆稍微正式一点的文字来说，是这样的：
表现出强烈的非随机现象
乌拉姆螺线，或者素数螺线，是通过在方形螺线中标记素数集而得到的图形化描述。它最初是通过马丁·加德纳在《科学美国人》杂志上的数学游戏专栏发表并进入主流的。
377x377 (~142K)乌兰螺旋上面的可视化清楚地突出了重要的模式，尤其是对焦模式。但也许我们在欺骗自己？乌拉姆螺旋的一个常见的反例是，也许我们的大脑只是在欺骗我们，让我们随机分配这些模式。幸运的是，我们可以采用两种不同的方法来确认情况是否如此。视觉上的比较和逻辑上的演练都能让人相信它们肯定不是随机的。首先，我们将一个由NxN维矩阵构成的乌拉螺旋与一个包含随机分配的点的大小相等的NxN矩阵进行比较。其次，我们将弯曲我们的多项式的知识，通过确切地推理为什么我们应该期待一些模式的视觉布局素数。
如前所述，用乌拉姆螺线确定非随机模式最直观的方法是通过直接比较。这是通过创建一个Ulam螺旋和具有相同大小的随机放置的螺旋。下面是两个不同的200x200矩阵，代表数字螺旋：
通过视觉上的比较，很明显，乌拉姆螺旋包含了引人注目的图案，特别是沿着某些对角轴；此外，即使有集群，也很少。另一方面，点的随机放置不会产生任何直接的-明显的模式-正确地导致多向聚类。毫无疑问，这缺乏传统证明的严谨性；然而，在观察初始螺旋时，有一种纯粹的东西，一种无意中发现的方法，产生了一个既能在逻辑上刺激又能在美学上吸引人的图表。
以一种更有逻辑性和更传统的方式来理解素数的本质，在这些形象化中期待模式实际上是合理的。如上所述，在对角线、水平线和垂直线方向上的线条似乎包含一条线索。几条线，不是质数本质上可以解释为简单的二次多项式，排除质数——例如，一个对角线将代表y = x显然不包括质数。另一方面，少数二次多项式，被称为'公式，产生高密度的质数，如欧拉多项式：x- x - 41，另一条线出现在螺旋模式。
视觉上的比较暗示了模式，而逻辑上的遍历则通过映射出素数来确认预期模式的存在。再一次，这与寻找所有质数的通用公式相距甚远，但是乌拉姆螺旋作为知识的标记和自然艺术的一部分，无疑是美丽的。
麻袋螺旋
就像数学中的许多话题一样，一旦有了一个原始的想法，一群同事就会追随其后，尝试为一个新兴的领域贡献自己的一份力量。合理地说，乌拉姆螺旋激发了几代数学家的灵感，他们试图在这一迷人的发现上更进一步。1994年，软件工程师出身的罗伯特萨克斯打算利用自己的编程技能，以不同的方式将质数可视化。
就像乌兰姆螺旋一样，萨克斯决定用另一个螺旋平面来构建他的图表。与上面的方形螺旋类似，螺旋面放弃了传统的笛卡尔坐标系统来识别一个点，因为这是一个单极定位系统。简单地知道这个数字就能揭示它在螺旋中的位置，它与螺旋中其他所有数字的相对位置，以及它与上一个和下一个完全平方数之间的距离。然而，萨克斯并没有使用方形螺旋，而是试图寻找在阿基米德螺旋上用下列极坐标绘制的整数模式：
阿基米德/萨克斯螺线的极坐标
在这种方法中，阿基米德螺线以0为中心，所有自然数的平方(1,4,9,16,25)在螺线与极轴的交点上(在原点正东方)作图。
从这个设置开始，我们沿着螺旋(逆时针方向)填充正方形之间的点，把它们画得彼此距离相等。最后，就像上面的乌兰姆螺旋示例一样，我们突出显示了结果螺旋中包含的素数。
《麻袋数螺旋》于2003年首次在网上发布，在视觉上引人注目。此外，正如我们将很快演示的那样，它也比著名的乌兰姆螺旋更深入地了解素数模式，因为实际上，它将乌兰姆伪螺旋的虚线连接在一起：
阿基米德螺线与素数突出，麻袋螺旋
结果图再次强调了明显的模式。几乎立即，它是清楚的有一个纯粹的白线从中心&水平延伸到东方。回顾我们的设置，我们可以确认这是包含所有完全平方的直线（r = n^5）第二个引人注目的发现是，与乌拉姆螺旋中看到的直线相反，这次的标记图案似乎更适合模仿曲线。结果是，这些曲线，也被称为乘积曲线，又回到了多项式直觉，解释了之前螺旋中出现的模式。然而，在我们进入这些之前，让我们花一点时间，为了一致性，来比较麻袋的螺旋和随机绘制的螺旋：
多项式和乘积曲线
罗伯特·萨克斯的工作是根据他最初的发现，广泛地集中在这些曲线上，这些曲线起源于螺旋的中心，或靠近螺旋的地方和以不同的角度穿过螺旋的手臂。曲线几乎是笔直的，但更典型的是，它们绕着原点进行部分、完全或多次顺时针旋转(与螺旋本身相反)，然后在与东西轴的特定偏移处变直。麻袋数螺旋上升最引人注目的一个方面是，这些曲线在西半球占主导地位(与完全平方相反)。
萨克斯将曲线描述为“各因素之间具有固定差异的产品”。换句话说，每条曲线都可以用一个二次方程(二次多项式)来表示，鉴于萨克斯螺旋结构中最重要的是完全平方，因此二次方程也不是纯粹的巧合。可以说，这些乘积曲线有助于我们观察到，在理解素数的过程中，萨克斯螺旋比乌兰螺旋更有用。虽然原始的乌拉姆螺旋暗示了模式和可能的方程，但萨克斯螺旋巧妙地为基本公式提供了起点——它们的曲率和连续性是结晶的，因此，它们更容易被识别。例如，下面的萨克斯螺旋包含高亮显示的行，它们的相关主要公式以标准形式标注。正如所承诺的，欧拉著名prime-generating二次公式返回如下所示(注释：最低n+ n + 41)：
通过螺旋形的数字，萨克斯得出了一个惊人的结论：质数是只存在于一条产品曲线上的正整数。由于螺旋可以向外无限延伸，因此积曲线本身可以认为是无限的，从理论上讲，这些产品曲线可以预测较大数字的主要位置——至少，它们值得进一步反省。
总的来说，麻袋螺旋推动我们通过更容易识别的质数公式对质数有更深刻的理解，这是一个结论。
这一切的意义
我们现在已经分析了乌兰螺旋和萨克斯螺旋。通过这两个例子，我们对质数背后的本质有了进一步的了解。萨克斯螺旋，特别地，向我们介绍了积曲线，它本质上是一组二次方程式，称为素公式。这两个图都是令人意想不到的美学图表，安抚了我们的好奇心，并照亮了一个具有普遍挑战性的问题。
那么我们能从中学到什么呢？
从不回避重新构建看似不可能的问题，即使只是出于好奇和厌倦，往往通过最意想不到的努力展现自己。斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆通过可视化来转换对一个著名问题的看法，让我们更接近了解质数，谁知道我们还会遇到多少其他意想不到的发现?