走进高维空间系列第三部分——所有点之间的距离都相等！奇妙、疯狂、不可思议
欢迎来到高维系列第二部分，感兴趣的话可以看高维系列第一部分：走进高维空间——体验难以置信的感觉。这部分我们将探索高维空间中一些奇怪而有趣的新奇事物。如果你还没有读过，我鼓励你在继续读第二部分之前先读第一部分，尤其是当你认为自己不确定我说的高维空间是什么意思的时候。我们建立了一些概念和工具，这将非常有助于理解这部分内容。不管怎样，在第一部分中，我们看到了在一个半径固定的球里，原点和随机选择的点之间的距离，当我们进入到高维空间时，我们的思想被极大地震撼了。今天，我们将探索我认为是我们从低维度到高维度所观察到的最奇特的现象之一，即球中立方体的奇妙案例！
两种形状：立方体和球体
我们只需要两个形状：一个立方体和一个球。
在这个系列的第一部分中，球是我们的主角，所以我在这里只简单回顾一下。一个球是所有点的集合，这些点与给定的中心保持一定的距离。这听起来可能有点晦涩，但请继续听我讲。在二维空间中，一个球就是一个圆，以及圆内的所有点；在三维空间中，球是一个球体，球体内的所有点都在球体内。每个球都有一个中心和一个半径。为了简单起见，我们总是取中心为原点，它在所有维度上的坐标都是0，比如二维中的(0,0)或三维中的(0,0,0)。半径是球的中心到外边界的距离；例如，如果一个球的半径是一个单位(这将是这篇文章的默认值)，那么球内的所有点都在距中心一个单位内。当我们移动到高于3的维度时，我们不再能看到球，但它的定义仍然是完全相同的：空间中的所有点距离球的中心(由半径定义)是固定的。我们用n维球这个术语来表示n维空间中的球。
那立方体呢，让我们从最容易想到的场景开始：二维和三维。在二维空间中，一个立方体就是一个正方形：一个有四条等长边和四个直角的封闭形状。现在，我们说边的长度是d单位。同样，与球一样，我们使用术语n维立方体来表示n维空间中的立方体。n维立方体也被称为超立方体。下面是一个边长为d的2维立方体。
在三维空间中，我们通常认为我们有一个“立方体”，它是一个封闭的形状，以六个正方形(2维立方体)面为界。同样，立方体中所有的边都是相同的长度d。
你说4维立方是啥样的？甚至是一个10维立方，什么样的？别急，我完全理解你进入更高维度的渴望！但是，让我们先花点时间来考虑一下低维的情况，也许这会告诉我们如何理解高维的情况。下面让我们明确地列出低维度中边长为d的立方体的定义：
0维立方体：空间中的一个点(实际上，任何零维物体都只是一个点)。1维立方体：一条长度为d的线(同样，任何一维物体都是一条线，除非它只是一个点)。2维立方体：边长为d的正方形。3维立方体：边长为d的立方体。我相信你在2维和3维的定义上和我是一致的，但也许认为0和1的定义是凭空而来的。但是，请耐心听我说，让我们考虑一下这些立方体之间的关系，看看它们有什么共同之处；具体来说，我们如何从一个0维立方到一个1维立方呢？然后从一个1维立方到2维立方？然后从2维立方到3维立方？在阅读之前，先仔细看看下面的插图：
正如你所看到的，如果我们从一个0维立方体开始，在原点上的一个单点，然后沿着一个方向“扫过”空间，得到长度为d的单位，我们就得到了一个1立方体，这是一条长度为d的直线！然后，如果我们取一个立方体(一条线)，在空间中以一个新的(第二个)方向扫过一个长度为d的单位，我们就得到了一个2维立方体，它是一个边长为d的正方形！你开始明白了吗？最后，如果我们取2维立方体(一个正方形)，在空间中以新的(第三个)方向扫过一个长度为d的单位，我们就得到了3维立方体，目前为止，都很完美！
那么，接下来会发生什么呢？我们如何从3维立方到4维立方？好吧，让我们做一件和之前的情况完全一样的事情：我们用3维立方体，以一个新的(第四个!!)方向扫过空间，长度为d个单位，这就得到了一个4维立方。我想肯定有不少人会问：“新第四方向是什么？”“我们都有很强的三维(方向)意识：左/右，前/后，上/下。也许我们听说过时间被称为第四维度。但是在第四个方向上移动d个单位是什么意思呢？老实说，我不知道。但这正是它如此有趣的原因！
不管怎样，我们已经迁移到我们无法想象的神奇空间世界，记住我们不能失去希望。我们必须简单地用数学工具装备自己，然后继续向黑暗前进！现在，我们的主要工具只是一个简单的事实，即一个边长为d的n维立方体是通过将一个(n-1)维立方体在空间中以新的方向/维度扫过一个长度为d的单位来形成的。
立方体的角在哪里？
既然我们已经对n维球体和n维立方体有了清晰的理解，我们怎么才能让我们的头脑“爆炸”呢？让我们从一个非常简单的二维场景开始，一个2维立方体，边长为1个单位，里面有一个半径为1个单位的2维球体（圆），它们都以原点为中心。这只是一个圆里面的正方形，就像下图所示这样：
根据定义，我们知道从2维球体的中心到2维球体的边缘的距离是1个单位，然而，对于2维立方体，中心到边缘的距离取决于方向。例如，我们知道沿水平或垂直轴的距离是0.5个单位(边的一半长度)：
到2维立方体的角的距离是多少？如果你看过本系列第1部分，那么你就会知道，对于勾股定理来说，这是一项简单的计算！具体来说，中心到角的距离是（0.5^2+0.5^2）^(1/2)，大约0.7个单位，这个角在这里很特殊，因为它是离2维立方体中心最远的点。
那么，我们学到了什么？我们知道2维球体的外边界上的每一点到中心的距离都是相同的，1个单位。我们还知道，2维立方体的中心与外边界之间的距离是变化的，最短的距离(平行于立方体的任何边的方向)是0.5个单位，最长的距离(到角的距离)是0.707个单位。同时，2维立方体中的每一个点都在2维球体内部，从上面的图中可以很清楚地看出。
当我们进入三维空间时，会发生什么变化？根据定义，正如本系列第一部分所述，我们知道3维球的外边界上的每一点到中心的距离都是相同的，1个单位。那3立方呢？因为这些边的长度只有1，而且立方体以原点为中心，所以我们知道最短的距离(平行于立方体任何边的方向)仍然是0.5个单位。3维立方的角离中心有多远？同样，这是我们在第一部分中学习到的勾股定理的高维推广的工作！具体来说，如果我们有一个点在三维坐标(x1, x2, x3)上，那么我们可以计算出这个点到原点的距离如下：
3维立方体的角的三维坐标是什么？这很简单！它们就是(0.5，0.5，0.5)如果这还不清楚，看看上面的2维立方体，想想三维的类似物。从中心到3维立方的角的距离大约是0.866。3维立方体中的每个点仍然在3维球体内部，但看起来立方体的角比二维情况下更靠近球的边缘。也许你不以为然。毕竟，这在数学上有完美的意义：我们添加了一个额外的维度，并将角的坐标向新的维度的方向移动了0.5个单位，所以当我们添加一个维度时，角离中心稍微远一点是有意义的。另外，半径为1个单位的n个球的定义要求任何点到中心的距离都不超过1个单位。这意味着什么？什么时候事情会变得奇怪？让我们来看看……
下面，我将绘制n维立方体的中心到角的距离，维度n从2到100，我们可以使用泛化的勾股定理来计算：
任何n维立方体中每条边的长度都是1，但是随着维数的增加，从中心到角的距离越来越远。不论多少维，任意一条边的中心到中点的距离都保持在0.5，在半径为1的球的边界之内；然而，当我们进入更高的维度时，立方体的角在球的边界之外。事实上，在四维空间中，立方体的角在球的边界上(我鼓励你自己做一下数学计算，自己去看一下)。我听说高维立方体的特征是“尖尖的”。当我们增加维度时，边角向外无限延伸，而边角的中点距离中心保持0.5个单位，就像这样：
这是不是很不可思议？我们有一个立方体和一个球的简单和恒定的定义。具体来说，我们从一个完全在圆里面的正方形开始，然后是一个完全在球里面的立方体。但当我们进入更高维度空间的深渊，立方体不再完全在球里面！
画龙点睛
上面的图像是有帮助的，因为它们有助于说明高维立方体的“尖峰性”，但它们也有误导。显然，他们只是试图在二维空间中演示高维对象，所以他们从根本上是不准确的。然而，当我说他们误导时，这并不是我真正想说的。我想让你们思考一下这些高维立方体的“尖锐性”，即边角突出在球的边界之外，而其他点，尤其是边线的中点，仍然在球的内部。如果你还没有被这一观察充分震撼，我将告诉你一些肯定能完成这项工作的事情。一个n维立方体内的每一个点都可以看到立方体内的每一个点，换句话说，你可以在n维立方体内任意两点之间画一条线段，整个线段都在立方体内。考虑一个二维或三维的立方体，这是清楚的。如果你在一个立方体形状的房间里，房间的任何部分都在视线之内，你可以投掷飞镖，从房间内的任何一点击中墙壁、地板或天花板上的任何一点。这适用于任何维度的个立方体！
我要求您调和n个立方体是“尖峰” 的事实，因为它们的角比其边界上的最近点伸出中心的距离更远（如上图所示），但是每一对点可以通过完全落在立方体内的线连接，尝试一下！
如果你像我一样，你肯定会失败，但仅仅是尝试就会引起一种绝对的神秘感和奇迹感。事实上，正是这种感觉，我们在追求，并不断把我们带回到更高维度空间的深渊。
总结并展望未来
在第一部分中，我们看到当我们进入更高维度时，球中随机点的密度会发生什么变化，今天，我们发现了超立方体的奇异的惊喜。接下来是什么？我还没有决定，但是更高维度的奇迹的袋子是巨大而充实的。在那之前，我鼓励你反思一下我们已经做过的事情，甚至自己去探索一下这片新的风景。我期待着我们的下一次旅程！