相似三角形性质及运用

变式1:如图,已知菱形AMNP内接于△ABC,M、N、P分别在AB、BC、AC上,如果AB=21 cm,CA=15 cm,求菱形AMNP的周长。

答案:35 cm

变式2:如图,在△ABC中,有矩形DEFG,G、F在BC上,D、E分别在AB、AC上,AH⊥BC交DE于M,DG∶DE=1∶2,BC=12cm,AH=8 cm,求矩形的各边长。

【例3】如图,已知P为△ABC内一点,过P点分别作直线平行于△ABC的各边,形成小三角形的面积S1、S2、S3,分别为4、9、49,求△ABC的面积。

探索与创新:

【问题一】如上图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=a,BC=b,过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC于M、N,若AM∶MB=m∶n。

(1)计算PM、PN的长;

(2)当a∶b=m∶n时,PM与PN有怎样的关系?

(3)在什么条件下才能得到2MN=a+b。

【问题二】如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD、BC的长度分别为a、b(a<b),梯形ABCD的高未给出,在这样的图形中,是否总可以作一条平行于两底的截线EF(点E、F分别在AB、CD上),使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形?如果可以分割,EF的长度如何求?试求出EF的长度。

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