Lax：应用数学三十年 | 最好的应用数学是与最好的纯粹数学同样深奥、美妙和有趣的
应用数学三十年
作者：彼得·拉克斯（Peter Lax）
第二次世界大战是那么多美国研究机构的一个分水岭,也是美国发展应用数学的分水岭。在战前,大多数的数学家把应用数学视为第二流的脑力劳动,把应用数学家视为二等公民。尽管两位带头的美国数学家白科夫和维纳是卓越的应用数学家,他们在动力学和随机现象分析方面的成就是受到物理学的启发的,但是他们仅仅受到年青一代的敬慕,却未广泛地得到他们的效法。
从那时起,应用数学已经走了一大段路,虽然以后还有很长的道路要走。它仍然被视为一种专门技能,常常只是受到带挑剔性的而非真正的尊重,但是没有人否认应用数学是一个异常广阔的学科,最好的应用数学是与最好的纯粹数学同样深奥、美妙和有趣的。此外,已经有了强有力的应用数学研究中心,在许多地方和许多领域中正在进行着大量卓越的研究活动。
这些领域中最先进的是数学物理的经典性分支和新经典性分支:各种形态的流体力学、声学、弹性理论、电磁理论、相对论、量子力学和场论,以及统计力学。还有较新的领域如中子迁移理论、等离子体物理、随机过程理论、生理学模拟、种群动力学等等。这些领域中处理的是连续体模型,其基本规律表示为微分方程,有时为积分方程。
战后也出现了崭新的应用领域,如对策论、控制理论、线性规划、动态规划、整数规划、数理经济学等等,这些领域中大都采用离散模型。这些方面的研究和教学往往编组在特设的运筹学系中进行。还有另一类应用数学是计算机科学名下的,目的是设想使用和设计计算机的途径,它是开设在计算机科学系中的。
现在简单地回顾战后(指第二次世界大战—译者注)的发展,并估计当前的情况。科学与技术的作用对于打点这场战争是关键性的,雷达、近爆信管、诺顿炸弹瞄准器、原子弹、密码破译、潜艇的系统搜索等等嵌得了这场战争,可以肯定,如果没有这些,这场战争会拖长,要牺牲更多的生命,经受更大的苦难。数学家们与物理学家、化学家和工程师们共同工作,对于重点计划作出了实质性的有时是关键性的贡献。在战后负责科学政策的人很好地记取这一经验教训,并且有远见地、有想象力地加以运用。他们体会到技术的基础是应用科学,而后者又从基础研究取得营养,他们也体会到应用数学是应用科学的必要组成部分。因此在战后,政府首先通过海军研究局后来又通过别的机构对于应用数学和纯粹数学的研究都给予全力支持。这一支持对于应用数学的成长是必要的。
另一必不可少的因素是数学界的领导人物,其中相当一部分是在欧洲受教育,被希特勒迫害而流亡来此的:柯朗、菲德力克斯、卡慈、冯·卡曼、冯·米泽斯、冯·诺埃曼等等。冯·诺埃曼的影响特别大,从他的全集可以看出,他的兴趣在战后完全转向应用:矩阵数值反演、蒙特卡洛法、数值流体力学、数值天气预报、程序设计及编码、对策论、经济学、计算机设计、大脑功能研究等等,而在战前,则除了早年对量子力学及对策论感兴趣以外,他的兴趣都放在纯粹数学问题上。他这个榜样无疑地影响了他的许多朋友和仰慕者,如贝尔曼、加勒特·白科夫、杰克·希瓦兹、乌拉姆等人,使他们转向应用。五十年代中期冯·诺埃曼的早逝使应用数学和计算机科学丧失了一个当然领袖和代言人。
为什么欧洲的数学家比美国人更关心应用数学?最可能的解释是欧洲数学传统要追溯到十九以至十八世纪,那时数学和物理学还不是象现在这样截然分开的。法国数学家是拉格朗日、拉普拉斯、柯希、泊瓦松、彭加勒的直接继承人,英国人则继承牛顿、哈密尔顿、麦克斯威、斯托克斯、开尔文、瑞莱,德国人继承高斯、黎曼、海姆霍兹、希尔伯特,俄国数学家的始祖则可追溯到欧拉(瑞士籍客卿—译者注)。与此相反,美国的数学是廿世纪才创始的。诚然,关国才华的自然流露是在实用方面,而美国数学家对于纯粹与抽象的不可否认的偏爱可能是对注重实用这个传统的一种反抗。
并不是所有的欧洲数学家都以现实世界即物质世界作为问题的最高源泉的。法国布尔巴基学派是一个以高卢人的彻底性组织起来的理智的和教育的运动,这个学派的宗旨就是要切割连结数学与现实的脐带。较早的欧洲纯粹派中有德国的朗道。英国的哈代特别蔑视应用性研究。哈代在他的一本自传体著作《一个数学家的辩解》中曾以令人沮丧而又欺世盗名的笔调宣扬数学的无用性。他企图证明无理数的美妙理论不可能对工程师有用处,因为他们完全满足于有限位的数字,比方说六位数字。但哈代是错了,他不知道在许多非线性力学问题中某些无理数列的渐近性极其重要,关键在于如何更好地用有理数来逼近无理数。哈代的片面性无疑地对英国数学产生了消极的影响。
让我们把问题转到计算机硬部件上。无可置疑,应用数学是过去二十年中在快速大容量电子计算机的普遍使用的影响下形成的。如果没有计算,则运筹学这样的数学的较新应用仍旧只能是处在胚胎状态的聪明设想而已。计算对于应用数学的经典性分支的影响也同样大。在过去的苦日子里,计算工作仅限于几百或至多几千个操作,应用数学家的任务仅是把他的问题简化—即删削—得能够进行数值运算。数值分析家(即计算数学家—译者)一定要抄近路和利用问题的每一个偶然的对称性来进行简化,这种权宜之计引不起数学头脑的兴趣。在今天,数值计算经常动用成亿次算术和逻辑操作,我们终于能够尽分析学之能来进行分析,尽计算机之能来用计算机。我们终于能够用普适原理进行思考来创造计算方法,而无须困扰不安地感觉到仅仅是在做“思想实验”。恰恰相反,我们确实认识到所导出的计算格式是能实现的,或者能鼓动工程师去设计实现这种计算格式的计算机。过去廿年中发明的好的格式的例子有交替方向法、分数步法、谱方法以及其他许多方法。
与好的格式连在一起的是需要设计有效的算法,过去十五年中创造了不少好的算法,如快速傅立叶变换、快速矩阵乘法、泊瓦松方程的快速解法等等。新方法的发明与发展要求作大量的实验,这在电子计算机上是容易做到的,而依靠手算则不可能。
计算也有助于弥合应用数学与工程技术的差距。工程设计要求定量的,主要是数字的信息。我们知道,在过去,数学家是很不愿意去走联结理论与数值落实之间的最后一里路的。今天工程师不仅经常运用数学方法而且运用数学家们发展起来的所谓“程序包”。
数学家在解决非常规性任务方面甚至起着更大的作用。过去十五年中最激动人心的发展,是在工程技术中用于设计目的的实验手段已系统地被计算手段所取代。计算不仅更便宜、更快速,而且在许多情况下,当实践手段为不可能或很危险时,计算是唯一可能的手段。计算在武器设计、核裂变反应堆设计以及机翼定型等方面起了重要作用。最近报纸上有两条新闻雄辩地说明了为工程技术服务的数学方法的有效性.航天渡船“企业号”的试验成功,和关于能够无痛苦、无危险,快速而精确地扫描脑部的计算机化的X光转轴单面透视术作为医疗诊断手段的高度有效性的报道。将来我们会看到,在高级的裂变、聚变和化学反应堆设计,地震机理研究,生物医学研究和其他许多领域中,数学将愈来愈起核心的作用。
大家可能高兴地认为数学的地位是牢靠的。可惜实际上不是这样。长期以来,一个全面支持数学发展的政策被认为是想当然的,而且往往仅是口头上对这种政策思想说得好听而已。自然的补救办法是负起比我们现在所负的远为全面的责任来发展使用者所需求的数学。为了做到这一点,首先要好好地了解这种需求。不久前美国数学会在年会上组织了关于新的和迅速变化中的应用领域的短训班。它们对于调调胃口很有用,但必须继之以正课。其次,需要增加有才能的献身于应用的数学家的人数比例。这是一项巨大的教育任务,可能要从中学开始。在中学里,数学应用的动机受到“新数学”(指美国中学的数学教育改革—译者）的双重摧残,这种新数学不仅不能恰当地把数学与科学的联系教给学生,而且还造成一种错觉,认为数学家把进行逻辑上的琐碎分析,比找出他们的知识在什么地方以什么方式能被别人所利用,看得远为重要。现在可能是对中学课程及教材作下一轮改革的时候了。
大学教育的更新甚至更为重要。要鼓励学生们去学习那些依赖数学的科学。特别要有新的教材,能够深刻地、引人入胜地表达应用的观点。由于应用的观点并不能完全从书本上或在学院的环境中学到,必须有措施安排学生在适当的时候进行实习。
对于我们数学家来说,最大的危险不是在于我们未能使人家相信数学对于解决科学、技术和管理等问题是必需的,而是在于通过我们当前的政策来使他们相信解决上述问题所需要的那种数学的发展和教学不是在数学系中进行而是在物理系、工程系、地球物理系、化学系、运筹学系、统计学系、计算机科学系以及独立而地位相同的应用数学系中进行的。这一危险是巨大的,而且时间已迟了。
本文转自：自然杂志