第14招：龙生九子-含参单调性讨论

第14招：龙生九子 - 含参单调性讨论

函数单调性的应用在很多场合都有涉及,尤其在数学解题中有着广泛的应用,利用函数的单调性可以解决很多数学问题,函数单调性是函数的基本性质之一,在很多相关知识中都有广泛的应用,很多看似复杂或是无法下手的问题,通过分析,理清题目中的已知条件,挖掘函数的结构特点,其实就是函数的单调性问题,透过函数的单调性,抓住本质,迅速打破思维僵局,可以获得巧妙或很简单的解答方法.

方法一:分段函数求参数

根据函数的解析式,通过函数单调性定义,判断出每个分段函数的单调性,然后根据函数整体单调性求出

的取值范围

已知函数

对任意不相等的实数

,

都有

,则

的取值范围为__________.

【解析】对任意的实数

,都有

成立,可得函数为减函数,

可得:

,解得

.

方法二:比较大小

利用单调性可以比较函数值的大小,即增函数的函数值随着自变量的增大而增大,减函数的函数值随着自变量的增大反而减小,同时利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间内加以分析判断.

(2020全国一卷理)若

,则( )

A.

B.

C.

D.

【解析】由题意得

,设函数

,易得函数

在

上单调递增,而

,所以

,故选B.

方法三:奇偶性法

根据函数的解析式,通过函数奇偶性的定义判定

是奇函数,通过函数求导,结合基本不等式和导函数的符号确定

是增函数还是减函数,再将含参不等式进行转化,从而求解相应的不等式,最终确定参数的取值范围,对于利用函数单调性求解参数的取值范围的问题,要注意数形结合思想的运用,采用逆向思维.

(2017·江苏卷·11)已知函数

,其中

是自然对数的底数,若

,则实数

的取值范围是_________.

【解析】已知函数

,因为

,所以

是

上的奇函数,且

,当且仅当

时等号成立,

所以

为

上的单调递增函数,那么由

可得

,结合函数单调性可得

,解得

,故

.

方法四:导数分析法

在

内可导函数

,

在

任意子区间内都不恒于

,

在

上为增函数,

在

上为减函数.

利用函数的单调性求参数的范围的基本方法:

(1)利用集合间的包含关系处理,

在

上单调,则区间

是相应单调区间的子集.

(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则

在区间上恒成立,若函数单调递减,则

在区间上恒成立”.

(2020江西师大附中模拟)对任意的实数

,函数

是增函数,则实数

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【解析】由题可得函数

的定义域为

,因为函数

是单调递增函数,所以

在

上恒成立,所以

在

上恒成立,等价于

,则由均值不等式可得当

时,

有最小值为

,所以

,又因为对任意实数

,函数

为单调递增函数,等价于

,设

,则

,当

时,

,当

时,

,所以

在

上单调递减,在

上单调递增,则

,所以

,故选B.

方法五:分类讨论法

结合题目条件,利用函数的单调性,通过对题中自变量的不同情况进行分类讨论,确定相应的参数的取值范围,再综合其共同问题,利用两边夹定理,确定参数取值的公共部分,从而得以快捷破解.

(2020届江苏省盐城市高三期中)已知函数

在

上单调递增,则实数

的取值集合为________.

【解析】由题中函数

在

上单调递增,可知

在

上恒成立,则当

时,

,则有

恒成立,解得

,当

时,

,则有

恒成立,解得

,综上分析可知

,故填

.

(2020届河北省高三模拟)已知函数

(

且

)为定义在

上的奇函数.

(1)求实数

的值.

(2)若

,使不等式

对一切

恒成立的实数

的取值范围.

【答案】见解析

【解析】(1)依题意可得

,即

,此时

,又

符合题意,∴实数

的值为

.

(2)由

,得

,解得

,此时

为减函数,不等式

可化为

,即

对一切

恒成立,故

对任意

恒成立,∴

,解得

,综上可知,实数

的取值范围为

.

1.函数

满足

,当

时都有

,且对任意的

,不等式

恒成立.则实数

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

2.已知

在

单调递减,则

的取值范围是__________.

3.已知定义域为

的函数

是奇函数.

(1)求

,

的值以及函数

的解析式;

(2)判断

的单调性,并用定义证明;

(3)若存在

,使

成立,求

的取值范围.