中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题

本文内容选自2020年赤峰中考数学压轴题，题目不需过程直接写坐标，难度中等。

【中考真题】

（2020·赤峰）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点．
（1）直接写出二次函数的解析式　       　；
（2）平移直线，当直线与抛物线有唯一公共点时，求此时点的坐标；
（3）过（2）中的点作轴，交轴于点．若点是抛物线上一个动点，点是轴上一个动点，是否存在以，，三点为顶点的直角三角形（其中为直角顶点）与相似？如果存在，请直接写出满足条件的点的个数和其中一个符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】

题（1）先求点C的坐标再代入求二次函数的解析式。

题（2）根据平移设直线的函数解析式，然后与二次函数的解析式联立，令Δ=0即可。

题（3）是相似三角形的存在性问题，其中一个三角形的形状固定，另一个三角形的一个点是固定的。那么可以先设两动点的坐标，然后再根据顶点对应进行分类讨论即可，还需要考虑点M在x轴上方和下方两种情况。
【答案】解：（1）直线经过，两点．
点，
二次函数的图象经过，，点，
，
解得：，
抛物线解析式为，
故答案为：；

（2）直线解析式为：，
设平移后的解析式为：，
平移后直线与抛物线有唯一公共点
，
△，
，
设平移后的解析式为：，
联立方程组得：，
，
点；

（3）设点的坐标为，
以，，三点为顶点的直角三角形（其中为直角顶点）与相似，
当时，
，
过点作轴于，
，
，
，
，，
，．
或，
或或或或或，
当时，，
，，
当时，，
，，
当时，，
，，
当时，，
，，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
即满足条件的点共有8个，其点的坐标为，或，或，或，或或或或．