中考数学倒计时20：高难度几何证明题-全等、相似

（1）有三个中点C、D、E可得，

DE=OC=CF，CE=OD=DQ，

两组对边相等，差一个夹角，

我们知道DE//OC，CE//OD，

所以ODEC是平行四边形，

所以∠OCE=∠ODE，

那么同时加上90°仍相等，即

∠PCE=∠EDQ，

所以全等成立；

（2）

①首先PR和QR分别是OA和OB的垂直平分线，

所以AR=OR=BR，

即A、O、B三点共圆，而R为圆心，

所以易得∠ARB的度数；

不用圆的方法也可以，∠BOR=∠OBR，∠AOR=∠OAR，

而∠AOR+∠BOR=∠MON=150°，

所以∠OAR+∠OBR=150°，

根据四边形内角和可得∠ARB=60°，

所以其为等边三角形；

②首先需要证明△PEQ为直角三角形，

由DE//OA和CE//OB可得∠BED=∠OAE，∠AEC=∠OBA，

那么∠AEC+∠BED=∠BED+∠OBA=∠ODE，

而根据第一问的全等可知∠QED+∠PEC=∠QED+∠EQD=∠EDR，

而∠EDR+∠ODE=90°，

所以∠AEC+∠PEC+∠QED+∠BED=90°，

所以∠PEQ=90°，同时PE=EQ，△PEQ为等腰直角，

那么△ARB也为等腰直角三角形，

∴ARB=90°，要求MON可以用圆的方法，

也可以用四边形的内角和，

结果都一样。

那么接下来求线段的比值，

根据∠MON=135°，而∠AOP=45°可知，

P、O、B三点共线，A、O、Q三点共线，

那么PE为Rt△APB的中线，所以AB=2PE，

同时PQ=根2倍PE，

所以AB：PQ=根2；