初中数学竞赛：梅涅劳斯定理
经常做竞赛题的同学，看到这道题之后可能一下子就看出来了，第一小题就是梅涅劳斯定理，如果你不知道这是啥玩意儿，那么接下来就认真阅读，并且牢记第一小题这个结论；
解析：
（1）梅涅劳斯定理的定义，简单点说就是一个三角形被一条直线贯穿，和三边所在的直线有3个交点，那么按照每条边上的两个三角形顶点与该边上新出现的交点组成的线段的比例（一定要按顺序来，要么顺时针要么逆时针）的乘积等于1；如果不理解的话，自己百度吧。
要证明这个结论，我们只需要借助平行相似
过A做BC的平行线，交FD的延长线于H
如图，根据平行，我们可以得到
△ADH∽△BDF，△AEH∽△CEF
那么AD/BD=AH/BF，CE/AE=CF/AH
接下来我们将两个式子相乘
则AD/BD·CE/AE=CF/BF
都移到一边可得
AD/BD·CE/AE·BF/CF=1
与结论一样了吧；
后面的篇幅有点长，针对不同群体提供了2种方法，本来打算设置付费，但是为了让更多的同学参考学习，仍然免费；
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（2）这一小题有点复杂了，但是根据题干的提示，让利用第一小题的结论，所以相对会简单点，如果说，没有第一小题，直接这道题就是让证明这一个结论，那么抛开梅涅劳斯定理，这道题就变得非常复杂了，也就是需要从第一步开始证明；
当然，经常做竞赛的同学，可能容易想到梅涅劳斯定理，可以直接用，但是如果说第二小题直接放在了中考当中，或者是某些学校的自主招生试题中，当做独立的一道题，就会有一些同学不知道梅涅劳斯定理，那么就需要从头到尾一步步来解决，如此一来，这道题就相当于一道工作量巨大的题目了；
今天老师给大家提供两种方法，先用不借助梅涅劳斯定理的方法，该方法适合每位九年级同学，但是如果你的数学成绩还不足80%的得分率，恐怕掌握上有难度；
第二种就用第一小题的结论来证明，也就是经常做竞赛题的同学，直接利用梅涅劳斯定理来做题；
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先来看第一种方法，当然还是在第一小题的图形基础上，也就是AH和FH还是必须有滴，
现在出现了一个重心G
而结论中的BD/AD和CE/AE都好说，根据刚才的过程可知
BD/AD=BF/AH，CE/AE=CF/AH
那么BD/AD+CE/AE=（BF+CF)/AH
现在问题就出现了，BF+CF需要等于AH才能得到结论，既然多了一个重心G，根据重心的位置可知如果连接CG并且延长，和AB边的交点为AB中点，那么我们就添加辅助线吧，顺便多延长一些，交AH于K
如图，根据M是AB中点，利用全等可知AK=BC，那么接下来只要HK=2CF即可，所以到了最关键的时候，如何证明呢？
观察HK和CF，符合平行相似，需要证明△HKG和△FCG的相似比为2：1
所以复杂的地方就在这里了
后面的内容可以等同于一道证明题了，即证明重心将中线分成的两个线段的比例，可能有同学遇到过这类题了，其实就相当于一个结论，如果不经常接触这类题，估计结论也记不住，那么接下来我们一起来解决它；
接着刚才的，要证明HK=2CF，只需要连接AG并且延长与BC相交，证明这条中线被G分成的两条线段为2：1即可，
如图，要证明AG=2NG，我们只能借助于重心G，重心是三角形中线的交点，所以我们还得再连接BG同时延长交AC于L
观察图形，这个时候M和L都是中点，如果连接ML，则可得中位线
如图，根据ML是△ABC中位线可知BC=2ML
那么AN就被ML给平分了，我们标注一下这个交点吧
假设ML和AN交于O，
那么OA=ON，
而根据ML//BC可得相似，即△MGL∽△CGB
则OG：GN =ML：BC=1：2
所以GN=2ON/3，OG=ON/3
则AG=OA+OG=4ON/3
所以AG =2GN
那么现在有了2倍关系，接下来需要将2倍关系转换到HK和CF上
根据△HAG∽△FNG可得HG：FG =2：1
那么放到△HKG∽△FCG中
可得HK=2CF
所以AH=AK+HK=BC+2CF=BF+CF
so，（BF+CF)/AH=1
即BD/AD+CE/AE=1
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接下来再看第二种方法，借助梅涅劳斯定理
根据第一小题的结论可知公式长什么样，当然，即使以前不知道梅涅劳斯定理的同学，在了解了第一小题之后，你也可以记住它，当做你知道这个定理，因为这毕竟就是一个公式，好记；
而这一小题给出了重心G
我们做出AN这条中线，就需要知道AG：GN=2：1，如果你不知道，那你肯定不是经常做竞赛题，那么你就需要借助第一种方法来得到这个比例；
所以我们现在可以从图上得到两个新的三角形，△ANC和△ABN，都被DF贯穿，
根据图形，△ANC被GF贯穿，根据梅涅劳斯定理可得
AG/GN·NF/CF·CE/AE=1
根据AG：GN=2：1可得
NF/CF·CE/AE=1/2
则CE/AE=CF/2NF
同时在△ABN中，根据梅涅劳斯定理可得
BD/AD·AG/GN·NF/BF=1
根据AG：GN=2：1可得
BD/AD=BF/2NF
则CE/AE+BD/AD=CF/2NF+BF/2NF=（CF+BF）/2NF
我们知道NF=NC+CF
2NF=2NC+2CF
2NC=BC
则2NF=BC+2CF=BF+CF
所以CE/AE+BD/AD=1