用函数来思考(上)
作者：林琦焜
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原文：https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/author18.jsp?query_filter=%E6%9E%97%E7%90%A6%E7%84%9C)
1. 历史——教育的指南
比我聪明、有学问的人从历史发现出布局、韵律、预定的模式。这种种和谐我看不出来。我所看到的只是紧急事件一个接着一个发生，有如海浪一波接着一波。关于历史，鉴于它的独特性，只有一点是真的，那就是对于历史我们没有办法概括化；对于学历史的人只有一个定律——那就是他应该在人类命运的发展中意识到意外和不能预见的事所扮演的角色。这并不是消极和怀疑。进步的事实很清楚的写在历史书上，但进步却非自然的定律。上一代的成就可能在下一代输光，人的思想可能被引入通往灾难、野蛮之路。
——《A History of Europe》, H.A.L. Fisher(1865-1940)
单纯的历史只是冰冷的往事，是些已经发生、不再重现的遗迹，所以是“不真的”，因为那里没有决断的自由，因此也没有生命、没有意义。真正的历史并不是客观地描述过去所发生的事件,而是寻求事件的意义。真正的历史是我们必须与研究的历史进行“对话”，使历史再一次活现出来。
对于近代的文明与科学有兴趣的人，不能不对“文艺复兴”、“宗教改革”与“启蒙运动”有特别的情感。为何会发生文艺复兴？简单的答案是《有交流就有改变》。由于十字军东征，迫使西方基督教世界与伊斯兰教世界接触，并从中寻获已失落千年的古希腊遗产。
文艺复兴(renaissance)这个字是“重生”的意思，它是指古代艺术文化(特别是古希腊文化)的再生。另外我们也说它是“人道主义”的复兴，因为在漫长的中世纪，生命中的一切都是从神(或教会)的观点来解释，但到了文艺复兴时期，一切又重新以人为中心。它最重要影响是改变了大家对人本身的看法。文艺复兴时期的人文主义精神使得大家对人本身和人的价值重新产生了信心。这时期有一项重要的发明——时钟。这是古老的世界所没有的，钟表自然成为第谷(Tycho Brahe,1546-1601)与开普勒(Johannes Kepler，1571-1630)研究行星运动的重要工具。这时期由于实际的需要和各门学科的发展，使得自然科学转向对《运动》的研究，对各种变化过程和各个变化着的量之间的依赖关系的研究。所以在数学中就产生了“变量”和“函数”的概念。要研究变化自然就需要“微分”的观念。因此如果要问：既然阿基米德(Archimedes 287?-212B.C.)已经有极限的概念，为何没有发明微积分？合理的答案是：
阿基米德只会积分不会微分，但是牛顿与莱布尼兹则同时会积分也会微分。
并不是阿基米德才智不如他们二人，我们只能说那是历史的无奈。在生活中只有迟缓的牛车或马车是无法想象瞬间速度(变化)这件事，更不用说瞬间加速度。古希腊思想对于严谨性的要求，使得全等成为几何的基础，并且不允许混淆离散(discrete)与连续(continuous)，但是这种要求无法满足动力学的尝试。此外古希腊天文学也缺少加速度的概念，一切都是平均速度，所以行星只能是圆周运动。整体而言他们所缺少的就是变化或改变(change)的概念。虽然阿基米德已经十分接近微分和积分的计算，但却停留在静力学问题的范围之内，只有等到研究运动的时候，产生了“变量”与“函数”的概念，才促成微积分与数学分析的形成，才会有牛顿科学革命的成功。
人类的历史经由漫长的中古世纪来到文艺复兴，也正是数学的历史由漫长的常量数学时期进展到变量数学时代，换句话说就是从数进展到函数的数学史。只要若干量之间有一定的物理关系就会出现函数的概念。函数发展史最重要的奠基者应属于法国数学家笛卡儿(René Descartes，1596-1650)与费马(Pierre de Fermat，1601-1665)，他们所引进的坐标系统，例如平面上的点以 表示，从此取代欧几里得那种模糊的几何定义方式。而且还进一步提出 与 这两个数有某种关系，也就是说 的每一个值都对应着一个唯一的值，换言之， 与 构成了一种函数关系。以费马而言，他写道：“每当我们找到两个未知量的等式，我们就有一条轨迹，它描写的不外乎是一条直线或曲线。”费马是从一个代数表达式开始，然后根据这个表达式在平面上勾勒出一个几何图形，他的预见使得后来的数学家们可以可以通过更复杂的方程式绘制新的曲线。这是数学史上最有意义的陈述之一。笛卡儿则是从几何问题出发并运用代数技巧来求解。
几何的任何问题都可以简化为这样的关系式，例如从特定直线的长度就足以知道它的结构…我毫不犹豫地把这些算术关系引入到几何中。
笛卡儿的思想为几乎所有事物之系统化数学处理开了一扇门。另外笛卡儿的思想也拓展了数学的研究范围，为后来的“分析(analysis)”铺平了道路，而数学特别是分析这门学问正是解开大自然奥秘之钥。借着分析或解析方法，我们能运用简单的方程式来描述整个族类的曲线之性质。笛卡儿也确信这种在数学领域上应用得如此顺利的方法应当也可扩展至其他领域，从而使探索者获得如数学中的确定性。这就是他的名著《方法论》的主要精髓，其中最重要是底下四个原则：
除了清晰且明白的观念外，绝不接受任何事物为真。
我们应尽可能地把每一个问题分解成解决它所需的各个部分。
思想必须遵循由简单到复杂的次序进展，如果没有次序时，我们就必须假设出一个次序来。
我们应该经常彻底检查一切，以确保没有任何被遗漏的地方。
通常我们将笛卡儿视为近代哲学之父，他的著作有股清新气息，他并不以教师的身份写作，而是以发现者与探索者的姿态执笔，渴望将自己的心得传达给人。他的文章平易近人且不迂腐，并不是供学生上课念的。而是供一般明白事理的人看的。近代哲学的开拓者有如此可佩的文学素养是值得庆幸的。
哥廷根伟大数学传统的建立者 Felix Klein(1849-1925)不仅是了不起的数学家更是不世出的数学经理人，哥廷根的数学在他的带领下不仅超越柏林大学且与法国的巴黎大学并驾齐驱，号称数学的中心(圣地)。但他的格局并没有局限在数学，年纪稍长时找来 Arnold Sommerfeld(1868-1951)发展理论物理，所以哥廷根不仅是数学的中心也是物理的中心。但是更令人惊讶的是 1904 年的第三届国际数学家大会 Felix Klein 在听完 Ludwig Prandtl(1875-1953)十分钟关于流体力学边界层理论(boundary layer theory)的报告(Prandtl 那时还是小人物！只能给十分钟的演讲)，马上警觉到Prandtl 研究的重要性，并将 Prandtl 延揽至理论物理研究所，从此哥廷根更一举成为现代流体力学的发源地。Felix Klein 更令人钦佩的是他观察到教育的根本重要性，因此在哥廷根大学为德国中学数学教师及在校学生开设讲座，强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容。Felix Klein 于 19 世纪末在德国领导的数学教育改革的口号就是“用函数来思考”。他的思想正是这篇文章写作的动机。
我们已经知道数学中专门研究函数的这门学问叫做分析(analysis)，如果说古希腊的数学是几何的话，那么牛顿之后的数学的中心便是分析。函数是所有数学中最重要的概念，借由它人们才第一次对于大自然各种变化的过程提供了计量上的研究，函数是数学的灵魂、贯穿了数学之理论与应用的每一个角落。20 世纪初由于理论物理(特别是量子力学)的革命性发展促进偏微分方程与相关数学的发展，此时数学研究的对象是“函数的函数”，这门学问就是泛函分析(Functional Analysis)，而其中最重要的是广义函数论(Generalized Function)或分布理论(Distribution)。
2 函数简史
关于函数(function)的历史有几个重要里程碑：
1694年德国数学家莱布尼兹(Gottfried von Leibniz，1646-1716)是历史上第一位使用函数(function)拉丁文(functio)这个名词的。这名词出现在他的拉丁文手稿《Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus》，他也是第一位使用 的函数(function of )这个惯用语。但是莱布尼兹的函数概念非常狭义，过分地限制在几何的领域内。对他而言，函数指的是跟随一曲线上的点而变动的量，譬如切线长、法线长、次切线、纵坐标等等。
1718年瑞士数学家Bernonlli家族的John Bernonlli(1667-1748)使用数学符号表示函数，并给出了一个脱离几何语言的函数定义:
一个变量的函数是由该变量与一些常数在某种方式之下所形成的量。
事实上，对于 Leibniz，Bernoulli 而言他们只对幂函数、三角函数这一类个别的例子才使用函数的概念。
1738年瑞士数学家 L. Euler(1707-1783)与法国数学家 Clairaut(1713-1765)正式以 表示函数，这个符号一直沿用至今。Euler 甚至在 1749 年给函数一个清楚的定义：
一个与另一个变量相关的变量，函数是另外的量相关的量，当第二个量变化时，第一个量也相应的变化。
但是 Euler 以及同时代的其他数学家要求函数必须由一个算式表达出来，，根据他们的观点，下列表达式
不是一个函数，而是两个函数。不过，Euler却是第一个突出函数概念的数学家，并且对所有初等函数(elementary functions)以及它们的微分与积分做了系统研究与分类。此外，Euler 已经有代数函数与超越函数的区分。
D. Bernoulli(1700-1782)在研究弦振荡方程式时，获得了一个称为三角级数(即后来的Fourier级数)形式的解；同时代的法国数学家 d'Alembert(1717-1783)也解决了同样的问题但却是完全不同形式的解。Daniel Bernoulli的解虽然是一个无穷级数但却是单一的算式，但 d'Alembert的解则是由许多算式所表示，因此众人都怀疑 D. Bernoulli 并没有得到所有的解。D. Bernoulli从物理的眼光相信所有的函数都可以表示为三角级数的形式，所以引发著名的学术论战。为此几乎所有十八世纪卓越的数学家都加入这场论战；例如 L. Euler、J. d'Alembert ，后来法国大数学家 Lagrange(1736-1813)也投入，他们几乎一致反对 D. Bernoulli 的想法。综观这次的辩论，本质上是环绕在函数的概念而进行。对十八世纪的数学家而言，函数必须由单一个算式表达出来。
1800年左右法国大数学家 Lagrange 在《解析函数论》中就是以幂级数为出发点，并将函数的概念限制于所谓的解析函数
当然只有在收敛区域内上式才能够定义一个函数。但是他只是形式地应用幂级数，并不为收敛性问题而操心。
函数概念的进一步发展要归功于法国数学家 Joseph Fourier(1768-1830)，十九世纪初他由研究热传导方程着手，针对前一个世纪 J. d'Alembert 与 D. Bernoulli之争论做了完整的解答：
在不同的区间一个三角级数的和可用不同的算式表达。
同时他给函数下一个新的定义，强调对于函数的重点是指定之数值，至于是否由单一算式给出并不重要，除了厘清函数的概念之外 Fourier也将十八世纪这场论战精炼成 Fourier 级数这门学问，之后他更将之推广为Fourier积分(这部分是他的创见否则 D. Bernoulli 与 L. Euler早就得出 Fourier 级数)。
德国数学家 Dirichlet(1805-1859)追随 Fourier 研究 Fourier级数的收敛性问题，他将Fourier 的结果加以精炼证明：任何已知的曲线都是三角级数和的图形。他甚至还改善了 Fourier 对函数的定义并将 Euler 的思想加以算术化：
若对每一个变量 的值，总有唯一的变量 之值与它对应，则变量 就是变量 的函数。
这个定义的好处是我们根本不需要任何的算式，函数是一个规则，它告诉我们说，变量 之值固定了，其相应唯一的 值就是什么。函数不一定要是个式子，它只要能说清楚 到 之间的对应是什么就可以，因此可以直接推广或抽象化到集合论，例如Dirichlet 研究 Fourier 级数的收敛性问题时就出现著名的 Dirichlet 函数
这样的函数根本无法用图形来表示，Dirichlet的定义在本质上是定义在自变量(independent variable)上的数值函数，再往前推的话，就可以将函数定义在任何的集合上，而这就是函数的近代定义。至此认为函数只是一种“解析表现式”的形式主义的观点，终于让步于把函数视为“变量之间的关系”的认知。
法国数学家 A. Cauchy(1789-1857)对于函数的看法是从批判他的同胞，德高望重的 Lagrange 出发的：
我拒绝通过无穷级数将函数进行展开的做法。Cauchy 曾经研究函数
并证明 及其在 的各阶导数都等于 0，因此按 Taylor 级数
这显然不是原来的函数。这说明 Lagrange 定义函数的局限。Cauchy 在 1821 年利用关系(relation)明确给函数下了现代定义：
“在某些变量之间存在着着一定的关系，只要其中某一变量的值给定了，其它变量的值可随之而确定时，则将最初的变量叫自变量，其它各变量就叫做函数。”
对 Cauchy 而言，函数为两集合间的某种对应关系：当集合 中的每一个元素在集中 皆恰有(有且仅有)一个元素与其对应，我们称这种对应关系为一从集合 对应至集合 的一个函数关系。函数就像是一个“机器”，它能够将集合 里面的每一个元素“唯一地”对应到集合 里的一个元素。每给定一个集合 (定义域)内的元素，就能对应到集合 (对应域)。函数不过是一种规则，它赋予任何输入值独一无二的输出值。输入值与输出值甚至不需要真的是数字(number)，而那种规则自然也不需要一个明确的表达式。
这就是函数的简史，但是真正的先驱则是 17 世纪笛卡儿(René Descartes，1596-1650)、费马(Fermat, 1601-1665)创立的解析几何，将变量这个观念引进数学，为微积分的发展铺平了道路，而且与代数的结合，同时也带来几何学根本之改变。也因为如此文艺复兴时代的数学才得以超越古希腊人的成就。1637 年笛卡儿在他的《几何学》中奠定了解析几何的基础——使平面上的曲线与有两个未知数的代数方程式之间建立了联系，这对变量数学的建立起着决定性的作用。要说明笛卡儿成功之处，我们比较一下欧几里得与笛卡儿关于圆(假设圆心在原点)的定义:
欧几里得：平面上所有跟一定点 等距离的点所成的轨迹叫做圆。
笛卡儿：圆是由满足方程式 的 所形成之集合。
希腊人的数学是几何的，阿基米德的著作中连一个公式都没有；甚么都用文字与图形来描述。到了17世纪，人们觉得这种几何的方法简直是紧身衣，最后终于把它摆脱掉。笛卡儿采用代数的语言来表示几何性质，这使得他提出了许多定理的简单证明，而这些定理若用传统的几何方法来处理是极其困难的。这里笛卡儿最重要的贡献将代数由文字叙述式转变为以符号描述的方程式，从此代数与几何不再是两门独立的数学分支，并且它们表达了相同的真理。这是整个数学发展史最重要的旅程碑，也是有史以来精确科学最大的一次进步。想了解数学但不使用方程式，犹如想了解伟大的艺术却不看画，这绝对是不可能的。把几何从可见的范畴、把代数从数量或大小的观念解脱出来，然后两者结合不再有代数与几何之分、并超越图像与计算的基本限制，而形成“函数论”伟大结构，这就是文艺复兴之后数学最大的成就。
“当代数与几何沿着它们各自的道路独立前进时，其进展是缓慢的，而且应用范围也有许多限制。但是，当这两门学科结合在一起，它们相互从对方汲取新鲜的活力，相辅相成，并且以快速的步伐迈向完美。”
——J. Lagrange(1736-1814)
对于深刻的思想家而言，笛卡儿的几何便有一种要超越三度经验空间的倾向。例如，空间的点不再像古希腊数学家局限在可见的范畴而代之以坐标 ，此时我们已不再有任何理由反对更一般的形式 。再以乘幂而言，其起源是面积：、体积：，但是当乘幂脱离了原来的限制，经由无理指数、复数指数而进入“函数”的领域时，它便成为一个映射(map)或关系(relation)，这就是进入高维度空间的第一步。函数是一个变量对另一个变量的依赖关系的抽象模型，我们把数学中专门研究函数的领域叫做分析(或数学分析)，有时候也称作无穷小量分析，是因为无穷小量之概念是研究函数的重要工具。在现代的观念中，无穷小法就是极限的方法。数学中的极限法的创造是对那些不能够用算术、代数或几何的方法求解的问题进行探索的结果。只有当“无穷小量”的概念转换成“比任何可能的数都要小”的观念时，才产生变量的概念，从而解决极限的问题。当这种变数脱离原有“数量大小”的性质，极限不再局限在对某一个数值的趋近，那么它就提升到函数的地位，它本身就是逼近，便是过程与运算，所以极限不是一种“状态”而是一种关系(relation)。
[注解]：
在牛顿的时代，函数(function)一词仅被理解为很好的东西，有时是指多项式，有时候指有理函数，但在任何情况下，它们都在自己的定义域中是解析，且可以展开为Taylor级数。
分析(analysis)或数学分析是一个相当难定义的概念，牛顿将分析理解为借助于无穷级数来研究方程式，换言之，牛顿的基本发现归结为：一切都应当展开成无穷级数。他曾说:“有限项能做的，无限多项也能做，这种无限多项的做法称为分析。”牛顿用分析这个术语表示研究(即借助无穷级数来研究曲线，研究运动，亦即研究我们今天所谓的函数或映射)。分析(analysis)的原文(拉丁文)与解剖学有关，意思是将一个整体拆解为各个细部之组合。
Function(函数)一词的中文或日文翻译：函数，函：的意思是信函或盒子，数：则是实数
函数函数
信函或盒子相当于机器，所以函数意思是输入数(input)；经由信函或盒子(机器)作用后的产品(output)就是函数。
对于非数学家而言 Function 主要的意思是：机能，作用；有一年参加刘太平老师在 Stanford 大学举办的研讨会，会中看到 Prof. Marshall Slemod(U. of Wisconsin Madison 分校)的T-恤上有一段文字
“Old mathematicians never die, they just lose some of their functions.”
Prof. Marshall Slemod 跟我讲这是女儿写给他的，这真是非常有趣的双关语。
3. 函数的基本观念
“这本书《无穷分析引论》可能是最具影响力的现代教科书。正是这一著作使函数概念成为了数学的基础。它普及了对数的指数定义以及三角函数的比率定义。它明确了代数函数和超越函数之间的差异以及初等函数和高等函数之间的差异。它开发了极坐标的使用和曲线的参数表示的使用。现在很多我们习以为常的记法都来自于它。一句话，《无穷分析引论》为初等分析所做的一切就如同欧几里德的几何原本为几何所做的一切一样。”
—— Carl Boyer(数学史学家)
Euler 是第一个突出函数概念的数学家，并且对所有的初等函数及其微分与积分做了系统研究与分类。他在这本书中把数学分析定义为:“对函数及其性质的研究”。他首先区分了常量与变量并于 1749 年定义函数为：
“若某些量与其它量有关，后者有变化时前者也跟着变化，则前量称为后量的函数。无论以任何方式决定此关连都可以。所以，若 为一变量，所有由它所决定的或以任何方式与之关连的都叫做它的函数。”
这里前量就是 后量为 ，表示为现代的语言为 。这样定义函数的方式已足够，但是更深层的发展一个比较广义且抽象的定义实属必要。
定义 3.1.(函数)： 若函数 是由集合 映入集合 的映射，则存在非空有元素对，其中 、，且对于每一个 ，恰存在一个 与之对应。
在这里我们清楚看到函数从 Euler 到 Cauchy 的演变：
Euler：(关系：relation)， Cauchy：(序对：order pair).
以牛顿运动第二定律 而言就是函数，它告诉我们：一个不变的力作用到一个质量不变的物体上，将产生一个不变的加速度。按定义3.1 我们可以直接这么说：一对一映射是函数，多对一映射是函数, 一对多映射不是函数。或许还是请笛卡儿来帮忙比较容易。我们看四个方程式：
()
()
()
()
图1：, 之图形
对椭圆 而言，当你固定 值在图形上会得到两个不同的 值： 与，因此不是函数；直观而言，如果垂直切下会得到两个(含)以上的交点就不是函数；或者从方程式来看，若 出现的不是一次，就铁定不是函数，例如：,。借此概念容易判断多项式函数、有理函数都是函数
其中 , , 。因为 都是一次方，或者由函数之定义，固定一个 的值，得到是一个固定的 值。脚踏两条船是不可能成为函数的！如果你想要成为大众情人，由函数的角度来看，你必须落在值域而不是定义域。
我们看两个函数
由这两个函数的外表即表现式来看并没有太大之差异，但由图形(图1)马上就看出两者之不同处。
学习数学心中始终要有例子(example)来帮助你思考，否则会身陷大海，不知何去何从！研究函数有几个基本原则，假设已知函数 之图形，则有
垂直伸缩： , ,
水平伸缩：, ,
垂直(上下)平移：,
水平(左右)平移：,
-轴反射：, ,
-轴反射：, ,
取绝对值：,
反演(inversion)：.
反演直观而言就是将有限区间 变换为无限区间
这好比莎士比亚的名句:
“即使身陷胡桃核内，我仍将自己视为拥有无限空间的君王。”
——莎士比亚(William Shakespeare, 1546-1616)
这个变换主要的特色是当 时 ，因此是以直线为对称轴(视为一面镜子)将 的图形拉到 这个区域，而将 的图形压缩到 。大部分的函数可借由这八个基本法则而得其图形。
例题3.1： 试讨论函数
图2：
图3：
图4：
解： 因为 是奇函数我们只考虑 的区域，并与 相比较
显然 是两个函数重迭之处也就是定点(fixed point)。根据反演变换我们将 中 这段正弦图形平缓地拉到 ，而 这区间的无穷多个正弦波则全部挤压到 这区间并以振幅为 1 在介于 这两条线之间快速震荡。至于 与 我们只需认识到 代表振幅(其实是包络线(envelope))，所以这两个函数本质上与 类似，在 这区间以在介于 这两条线(拋物线)之间快速震荡。
（本文作者为国立交通大学应用数学系退休教授）