河南丨中考数学压轴题型讲解——线段求解、折叠为例

前言 PREFACE

姜姜老师  专注初中数学压轴

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河南中考数学作为统考的大省，也是中考人数最多的省份，竞争非常的激烈，相交于全国中考数学而言，河南的中考数学在选填压轴的线段求解过程中还是很有深度，包括线段求解，折叠为背景下的分类讨论，这个过程中需要运用的几何工具非常的重要，大家可以好好研究这几道题目，也是在全国引用非常高的题目。

实操真题讲解

1、（2020·河南）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　1　．

【分析】

方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝√2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．

方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝√(2√2)²+√(√2)²＝√10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【解答】

解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2√2，

∵E，F分别是边AB，BC的中点，

∴AE＝CF＝1/2×2√2＝√2，

∵AD∥BC，

∴∠DPH＝∠FCH，

∵∠DHP＝∠FHC，

∵DH＝FH，

∴△PDH≌△CFH（AAS），

PD＝CF＝√2，

∴AP＝AD﹣PD＝√2，

∴PE＝√AP²+√AE²＝√(√2)²+√(√2)²＝2，

∵点G，H分别是EC，FD的中点，

∴GH＝1/2EP＝1；

方法二：设DF，CE交于O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，

∵点E，F分别是边AB，BC的中点，

∴BE＝CF，

∴△CBE≌△DCF（SAS），

∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，

∵∠CDF+∠CFD＝90°，

∴∠BCE+∠CFD＝90°，

∴∠COF＝90°，

∴DF⊥CE，

∴CE＝DF＝√(2√2)²+√(√2)²＝√10，

∵点G，H分别是EC，FD的中点，

∴CG＝FH＝√10/2，

∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，

∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，

∴∠FCO＝∠CDO，

∵∠DCF＝∠COF＝90°，

∴△COF∽△DOC，

∴CF/DF＝OF/CF，

∴CF²＝OF·DF，

∴OF＝CF²/DF＝(√2)²/√10＝√10/5，

∴OH＝3√10/10，OD＝4√10/5，

∵∠COF＝∠COD＝90°，

∴△COF∽△DOC，

∴OF/OC=OC/OD，

∴OC²＝OF·OD，

∴OC＝√(√10/5)×√(4√10/5)＝2√10/5，

∴OG＝CG﹣OC＝√10/2﹣2√10/5＝√10/10，

∴HG＝√OG²+√OH²＝√(1/10)+√(9/10)＝1，

故答案为：1．

【点评】

本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

2．（2019·河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3/5a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为　3/5或　√5/3．

【分析】

分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．

【解答】

解：分两种情况：

①当点B′落在AD边上时，如图1．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝90°，

∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，

∴∠BAE＝∠B′  AE＝1/2∠BAD＝45°，

∴AB＝BE，

∴3/5a＝1，

∴a＝3/5；

②当点B′落在CD边上时，如图2．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．

∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，

∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，

EB＝EB′＝3/5a，

∴DB′＝√B′A²-√AD²＝√(1-a²)，

EC＝BC﹣BE＝a﹣3/5a＝2/5a．

在△ADB′与△B′CE中，

∠B′AD=∠EB′C=90°-∠AB′D，

∴△ADB′∽△B′CE，

∴DB`/CE=AB`/B`E

即√(1-a²)/(2/5a)=1/(3/5a)

解得a1＝√5/3，a2＝-√5/3（舍去）．

综上，所求a的值为5/3或√5/3．

故答案为5/3或√5/3．

【点评】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．

3．（2018·河南）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为4√3或4　．

【分析】

当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C＝A'E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A'B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；

②当∠A'FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．

【解答】

解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF＝90°时，如图1，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，

∵点D，E分别为AC，BC的中点，

∴D、E是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠CDE＝∠MAN＝90°，

∴∠CDE＝∠A'EF，

∴AC∥A'E，

∴∠ACB＝∠A'EC，

∴∠A'CB＝∠A'EC，

∴A'C＝A'E＝4，

Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，

∴BC＝2A'E＝8，

由勾股定理得：AB²＝BC²﹣AC²，

∴AB＝√8²-√4²＝4√3；

②当∠A'FE＝90°时，如图2，

∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，

∴∠ABF＝90°，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝4；

综上所述，AB的长为4√3或4；

故答案为：4√3或4；

【点评】

本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．

4．（2018·河南）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点，△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称，连接AC，分别交EA′、EF于点M、N，AB＝2，AD＝2．若△EMN与△AEF相似，则AF的长为　1或3　．

【分析】（分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF．②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别求解．

【解答】

解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，

∴tan∠CAB＝BC/AB=√3/3

∴∠CAB＝30°，

∴∠AEM＝60°，

∴∠AEF＝30°，

∴AF＝AE·tan30°＝√3·√3/3=1

②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，

可得AF＝AE·tan60°＝3，

故答案为1或3．

【点评】

本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5．（2017·河南）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为1/2√2或1

【分析】

①如图1，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝√2MB′，列方程即可得到结论．

【解答】

解：①如图1，

当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，

∴BM＝1/2BC＝1/2√2+1/2；

②如图2，

当∠MB′C＝90°，

∵∠A＝90°，AB＝AC，

∴∠C＝45°，

∴△CMB′是等腰直角三角形，

∴CM＝√2MB′，

∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，

∴BM＝B′M，

∴CM＝√2BM，

∵BC＝√2+1，

∴CM+BM＝√2BM+BM＝√2+1，

∴BM＝1，

综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为1/2√2+1/2或1，

故答案为：1/2√2+1/2或1.

【点评】

本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

6．（2017·河南）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为√3/2或√3cm．

【分析】

①如图1，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝√2MB′，列方程即可得到结论．

【分析】

如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根据等边三角形的性质得到＝AC＝BC，∠ABC＝60°，根据线段中点的定义得到BN＝1/2BM＝√3/2，如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．

【解答】

解：如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，

则MN⊥AB，BN＝BN′，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，

∵点M为边BC的中点，

∴BM＝1/2BC＝1/2AB＝√3，

∴BN＝1/2BM＝√3/2，

如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，

则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，

∵∠ABC＝60°，点M为边BC的中点，

∴BN＝BM＝1/2BC＝1/2AB＝√3，

故答案为：√3/2或√3．

【点评】

本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．

7．（2016·河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为　3√2/2或3√5/5　．

【分析】

根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．

【解答】

解：如图，

由翻折的性质，得

AB＝AB′，BE＝B′E．

①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN＝x，得

B′E＝√(x²+1)．

△B′EN∽△AB′M，

EN/B`M=B`E/AB`,即x/2=√(x²+1)/3

x²=4/5

BE=B`E=√(4/5+1)=3√5/5

②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN＝x，得

B′E＝√(x²+2²)，

△B′EN∽△AB′M，

EN/B`M=B`E/AB`,即x/1=√(x²+4)/3

解得x²＝1/2，BE＝B′E＝√(1/2+4)＝3√2/2，

故答案为：3√2/2或3√5/5．

【点评】

本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB＝AB′，BE＝B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．

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