一元二次方程根的判别式

◎ 一元二次方程根的判别式的定义

根的判别式：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0

方程有两个不等实数根；
定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0

方程有两个相等实数根；
定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0

方程没有实数根。

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根

△＞0；
定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根

△＝0；
定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根

△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展

1.一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0

方程有两个不等实数根；
定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0

方程有两个相等实数根；
定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0

方程没有实数根。
2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根

△＞0；
定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根

△＝0；
定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根

△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线

（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

◎ 一元二次方程根的判别式的特性

根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线

（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标

1、能用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。

◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求

能力要求：掌握
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4