2021 第 62 届 IMO 第四题详解
原创2021-10-28 18:30·CodeXana
引言
2021 年第 62 届 IMO 已经结束，本文分享第四题的详细解答，适合高中学历的读者。
问题
设圆
的圆心为
，凸四边形
满足：线段
和
都和
相切。设
是三角形
的外接圆。
往
方向的延长线交
于点
，
往
方向的延长线交
于点
，
往
方向的延长线交
于点
，
往
方向的延长线交
于点
.
证明：
分析
本题需要用到一个简单的结论。
如下图所示，圆上有三点
，其中
，角
的外角平分线交圆于点
，那么
证明：由对称性，不妨设
，从而
在
的右侧，取
延长线上一点
.
从而
解答
如下图，连接
线段
分别与圆
切于
注意到
是
的外角平分线，从而由分析中的结论知
，同理
，它们所对应的弧长也相等，从而
所以
由
以及
可以导出一对全等三角形
从而
同理
那么有
同理有
由之前的分析，
,
,
，从而
证毕！
赞 (0)