线代题型练习14：《行列式》常见题型练习题及参考解答
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：设为阶方阵，且的行列式，是的伴随矩阵，计算.
练习2 ：设为阶非零方阵， 是的伴随矩阵，是的转置矩阵. 当 时，证明：.
练习3 ：设是阶矩阵，满足 (是阶单位矩阵，是的转置矩阵），，求.
练习4：计算行列式
练习5 ：设为三阶方阵，，计算
练习6 ：设为三阶方阵，, ，计算
练习7 ：设为三阶正交矩阵，，是三阶方阵，，计算.
练习8 ：设为三阶方阵，, ，求.
练习9 ：设均为四阶方阵，且有
均为四维向量，计算.
练习10 ：设均为四维向量，且
计算.
先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：设为阶方阵，且的行列式，是的伴随矩阵，计算.
【参考解答】 ：由计算公式直接得
练习2 ：设为阶非零方阵， 是的伴随矩阵，是的转置矩阵. 当 时，证明：.
【参考解答】 ：设，其中为的行向量，所以有
由公式，根据已知，有.
考虑反证法：如果，则有
这与为阶非零方阵矛盾，所以.
练习3 ：设是阶矩阵，满足 (是阶单位矩阵，是的转置矩阵），，求.
【参考解答】 ：因为
由于，所以，所以.
练习4：计算行列式
【参考解答】 ：【思路一】 记行列式为，则按第一行展开
【思路二】 依据行列式的拉普拉斯展开法则，将行列式按第2，3行展开，于是有
【参考解答】 ：由于
所以得
【参考解答】 ：由行列式的计算性质，得
练习7 ：设为三阶正交矩阵，，是三阶方阵，，计算.
【参考解答】 ：由题设，可得
所以
练习8 ：设为三阶方阵，, ，求.
【参考解答】 ：因为
所以
从而有
练习9 ：设均为四阶方阵，且有
均为四维向量，计算.
【参考解答】 ：由于
所以有
练习10 ：设均为四维向量，且
计算.
【参考解答】 ：直接由行列式的计算性质，得
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