量子须回路的CHEN-SIMONS相位
磁偶极子的能量和量子退相干
韩锋
在给北京四中同学上 AP 物理的时候，一直参考着《Feynman Lectures on Physics》， 有时候一看目录就开始心领神会，心花怒放!比如:讲电流在磁场中受的力，磁偶极子在 磁场中的能量，这些内容并没有什么出奇的，可光讲到这儿就不是费曼了，接下来一节， 突然来个磁场的矢量势和量子力学，哦，费曼的意思，我猜猜，在量子力学中ω是和能量 成正比的，如果一个电子在磁场中的非定域性“路径”可以类比成一个磁偶极矩，那用经 典的磁偶极矩的能量类比，会得到一个修正的ω(也就是一个附加的量子相位)，这不就 是 AHARONOV-BOHM 效应吗?我便满怀着期待，一个貌似等待郭德纲要抖出一个大包 袱的心情，继续看下去。 让我们先跟着费曼科普一下，什么是磁偶极子呢?就是存在一电流线圈的磁场(magnetic dipole)。最小的磁偶极子比如说铁原子，由原子核外运动的电子(等效一电流圈)构 成，当一块磁铁中这样的小磁偶极子排列成大致一个方向时，宏观的磁场现象就形成了， 其磁偶极矩定义为:μ=IS,其中 I 是线圈中的电流，S 是线圈包括的面积元，S 是一个矢 量，其方向为法线方向，朝向由电流的方向按照右手定则确定，S 的方向自然就确定了磁 偶极矩的方向。 由于电流在磁场中受到洛伦茨力:F=IL×B,一个磁偶极子在磁场中自然就会拥有某种势 能，在其实就是我们日常熟悉的电动机原理，一个电流线圈在一组磁铁构成的圆阵列中转 动起来(势能转化成了电流线圈的动能)。
这个势能并不难确定，根据我们 AP 物理 C 里面讲的，广义的力(这里是磁力矩)等于势 能函数对坐标的微分，我们不难算出，磁场中磁偶极子的机械势能:U=-μ·B。可以验
证，磁偶极矩在磁场中收到的力矩=-dU/dθ,θ为磁偶极矩和磁场方向的夹角，如费曼书中 原图所示:
好了，有了这样一些准备我们就可以和费曼一起杀入量子力学了。大家知道，由于电子具 有量子的非定域波性，所以即使只有一个电子，在经过一螺线管电流时，也会有上下不同 的“虚路径”选择，如费曼书中所示:
按理说通过经典电磁学我们知道，足够长的电流螺线管(图中标出的 solenoid)外是基本 上没有磁场的，一个电子的波由于被螺线管前面的光栅 d 遮挡，几乎不会进入螺线管，这 在经典上电子只会走一个完全没有磁场的空间路径，所以按照经典理论，电子的运动应该 完全与螺线管中的磁场无关(因为两者都是完全定域的，而且没有交集)。但在量子力学 中就完全不同了，即使只有一个电子，其量子非定域波性允许 ta 同时选择图中上下两个路 径1和2，这样就形成了一个电子虚时间运动的磁偶极子(因为不可能是实的运动，否则 不能同时选择两个以上路径)，那么这个虚的电子磁偶极子会和螺线管中的磁场(因为现 在磁场显然穿过电子形成的这个虚“回路”)会有刚才费曼告诉我们的那个磁场中的磁偶 极矩的能量吗?这个听起来太玄了，但是我们可以算一下，这个“能量”为 U=-μ·B=- IBS=q/t*B·S,其中 t 代表电子经过的时间 q 代表电子电荷,q 除以 t 等于电流 I，B·S 是磁 场穿过这个电子虚回路的磁通，因为只有螺线管内才有磁场，所以不管这个电子的虚拟回 路怎么取，都会是一常量，如果我们再结合从普朗克到爱因斯坦再到德布罗意的观点，电 子的能量和其波动频率成正比:E=hω/2π,那么这个“能量”会影响到电子的波函数相位 exp(iωt/h)也就是这会让电子波函数相位增加出一项
这真是经典电磁学完全无法想象的，这到底是这是物理学还是玄学?如果是“物理”的 话，我们一定得有能观测到的物理现象，我们才能承认 ta。见证奇迹的时刻到了:我们真 的能从上图的类似的实验中，观测到了电子双缝干涉条纹由于这个磁通存在的移动，这就 是所谓 Aharonov-Bohm 效应(Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959) ..)。
本来我准备完全叹服费曼这一精妙的物理思路，把经典电磁学一个司空见惯的事实，引入 到量子力学的胜景，但是让我大吃一惊的是，费曼进入量子力学后却出现了下面一段很 “突兀”的话:
其中 q 是电子电荷，后面一项积分表示螺线管磁通量，结论和我们一致，但是费曼的逻辑 让我觉得很奇怪，难道我们折腾半天，就是为了接受这么一条量子力学的“新规则” (new law)吗?这太不像费曼的一贯作风啦!要说我当时的心情，就像前天听完郭德纲 在春晚黄金时间说的相声一般! 过后仔细一想，郭德纲是被央视套住了手脚，他显然没完全发挥出来。费曼显然也受到了 某种宿命的束缚，虽然他把量子的各种“虚路径”叠加在一起构成了费曼路径积分做的那 么漂亮，几乎是现代量子场论的基石，但是终其一生他没敢承认: 物质世界最基本的存在，是量子的非定域整体性存在。 所以费曼在以上 ANARONOV-BOHM 效应中没能敢继续承认电子的虚路径可以构成一虚 时间的磁偶极子。
霍金已经从完全不同的路径(黑洞的量子理论)认识到量子世界的时间，是虚的时间，这 前进了一大步，但是最终这层窗户纸，还没有被捅破。 为什么人类跨越这个概念的鸿沟这么难呢?这也不难理解，因为人类日常生活的世界，完 全是定域性的，怎么能够想象并最终承认背后的本质是量子非定域整体性的? 我个人的观点:我们看到的宏观定域世界，其实是量子非定域世界的热力学效应，或者说 我们看到的都是“爱因斯坦定域事件”，ta 是量子力学和热力学效应结合而产生的定域熵 “信息”!我们最终需要的是一个“信息动力学”，我会付出终生的精力去证明这一点， 也非常渴望志同道合的朋友大家一起努力! 当然，我们首先面临的一个问题是:热力学系统，是怎样从基本的量子非定域缠绕态退相 干产生的?
前不久我在人人发了一个状态:
韩锋 热力学平衡的本质，应该是从同时处于多量子纠缠态叠加，退相干到实时的多态 遍历，体现出来的结果就是熵最大! 这个状态引起了朋友们的热烈讨论，其中清华的@尤亦庄回复说:
“尤亦庄: 我想大家都同意这个 statement，但是一直不能 work out 里面的细节!” 从费曼讲的磁场中磁偶极矩能量那里，我们可以发现一个能让量子非定域性退相干的“细 节”。大家注意费曼老师讲了半天只讲了螺线管中的磁场是不随时间变化的情形，这种情 形下虽然由于量子的非定域波性，也产生了能够观测到的物理效应(干涉条纹移动)，但 是终归没有造成电子波函数的退相干，所以不含时的保守力系统无法直接过渡到热力学， 也不能产生定域性(这和保守力做功与路径无关的常识相吻合)。但是如果假设螺线管中 的磁场是随时间变化的，最简单的举例:B=at,也就是让磁场与时间成正比，比例系数为
a，那么电磁学马上告诉我们这样的含时磁通周围将会产生感生电动势，那么电子在这种 情形下再也不能任意选择螺线管上下的路径了，因为上下两个路径对应的电动势不一样， 实能量就不一样，为了保证能量守恒，电子必须在实时间中选择一条路径，定域性出现 了，退相干也出现了，下面我们看一下这样对热力学意味着什么? 为了不要让论证过于冗长，我们只考虑一个两电子系统，假设最后要处于熵最大的热力学 平衡态它们应该处于最大缠绕态(因为我们找不出它们不处于最大缠绕态的理由):
假设系统处于随时间变化的磁场 B=at，a 为常数，t 为时间的“环境”中，那么现在系统 的密度矩阵显然含时了:
------------------
(2) 那么对任何物理量的测量显然需要对时间的平均，但由于存在前面的(1)式现在每一个 交叉项都出现了一个时间的周期函数 exp(iq/h*atS):已带入 B=at，因此，量子干涉交 叉项在对时间的平均中全部为零了:
这正是我们对于熵最大的热力学系统原理所期待的:ta 符合遍历原理，也就是任何物理量 对时间的平均等于其处于各态的平均。
其实对密度矩阵本身求时间平均，也能直接看出量子干涉交叉项都为零，从而实现了系统 的退相干，量子非定域波性消失了，取而代之的是定域的“信息熵”形成了，爱因斯坦的 “定域事件”形成了!
我相信这就是“信息动力学”的起点! 最后讨论一下含时电磁场为什么可以“破坏”一个量子场的非定域关联。 曾经中科大的陈千帆给我说:量子力学和相对论结合的结果，产生了“定域”的量子场 论。当然，量子场论是“定域场论”，这个是大家都这么说的，但是这是否意味做量子场 论真的具有和经典力学完全一致的“定域性”而没有长程关联呢?这个我当时没回答出 来。
但是最近我在读 Glauber 关于量子光学关联函数的原始文献时，终于对这个问题有了清楚 的认识。
Glauber 的光子场关联函数是这样定义的:
(Physics Review ，Vol131，No.6,15 september 1963) 其中 E 场算符的空间分量为:
-------------------(3)
------
-(4)
显然，对于纯量子场，密度矩阵取前面的(2)式，在这种情形下，空间不同点 r 的关联函 数 G 不为零，显然需要量子场论的基本对易关系:
--(5)
这个物理意义是很明确的，因为存在这样量子场论的基本对易关系(5),所以量子场论虽然有
定域的场算符，但是其空间不同区域的关联函数不为零，非经典的量子非定域性仍然存
在。
但是如果我们存在“强”磁通变化环境时，该对易关系在一个远大于磁通震荡周期的时间
积分下变为 0，非经典的量子非定域关联消失。这个震荡周期(或者说频率)和前面的讨
论的虚回路磁偶极矩有直接关系，当然也和磁场随时间变化的强弱有关，我相信，如果我
们能够详细计算，应该和环境的温度有关，在这个震动周期内，量子长程关联还是会保持
的，我猜测大概这就是为什么低温系统，量子的长程关联特性得以保持的原因吧。
最后回到我们的常识吧，如果我们希望知道一个物理系统的“位置”，我们就应该用一束
光去“看”它，这束光要有足够的“温度”，以提供足够强的磁通变化“环境”，让系统
退相干下产生“爱因斯坦定域事件”，我们就得到了一个定域的信息熵。
下一篇日志，我可能讨论，这样形成的爱因斯坦定域“事件”，在时空上一定是有“大
小”的。
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