含参数函数单调问题的类型与求解策略
含参数函数单调问题的类型与求解策略
陕西 韩红军 张教训
含参数函数单调求参数取值范围的问题涉及知识点多，考查面广，叙述形式多变，解题方法灵活，能充分考查学生的数学思想、计算功底和优化思维能力.本文将此类问题进行归类，探究每一种类型的共同属性，寻找解题策略或方法.
一、函数y=f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈A都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在区间A内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零
【例1】已知函数
设h(x)=f(x)-g(x).若函数h(x)在[1,4]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】由
在[1,4]上单调递增得，当x∈[1,4]时，
恒成立，∴当x∈[1,4]时，
恒成立，设
所以只要a≤G(x)min即可．又当x∈[1,4]，即
时，G(x)min=-1(此时x=1)，∴a≤-1，即a的取值范围是(-∞,-1]．
【评注】函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，转化为f′(x)≥0(且不恒等于0)在区间[a,b]上恒成立，进而转化为在区间[a,b]上
函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，转化为f′(x)≤0(且不恒等于0)在区间[a,b]上恒成立，进而转化为在区间[a,b]上
【变式】若函数f(x)=lnx+x2-ax为增函数，求实数a的取值范围．
【提示】解法一：因为
由题意知f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，所以
在(0,+∞)上恒成立，而当x>0时，
当且仅当
即
时等号成立，所以
解法二：因为
由题意知f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，所以
在(0,+∞)上恒成立.
①若a<0，g(x)min=g(0)=1>0，满足f(x)在(0,+∞)上为增函数；
②若
解得
所以
综上所述，a的取值范围是
【例2】已知函数
设h(x)=f(x)-g(x).若函数h(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围．
【解析】由函数
在[1,4]上单调递减得，当x∈[1,4]时，
恒成立，即
恒成立．设
所以只要a≥G(x)max即可．因为当x∈[1,4]，即
时，
(此时x=4)，所以
即a的取值范围是
【评注】注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
【变式】(2017·衡水中学期末试题改编)若函数f(x)=
在(1,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围．
【提示】因为
由题意知f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，所以
由
当
即x=e2时，
所以
二、函数y=f(x)在区间A上单调，则区间A是相应单调区间的子集
【例3】若函数
在[2,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.
【解析】因为
①当a=0时，
在[2,+∞)上f′(x)>0，符合题意；
②当a<0时，f(x)在[2,+∞)上只能是单调递减，所以y=ax2+x-1在[2,+∞)上恒小于等于0，即
在[2,+∞)上恒成立．设
所以只要a≤G(x)min即可．而
符合题意，所以
③当a>0时，f(x)在[2,+∞)上只能是单调递增，所以f′(2)≥0，即
得
故a>0.
综上所述，a的取值范围是
【变式】若函数f(x)=ax-lnx在区间
上单调，求实数a的取值范围.
【提示】由题意得
因为
所以
①若函数f(x)在区间
上单调递增，则f′(x)≥0在
上恒成立，即
在
上恒成立，所以a≥2；
②若函数f(x)在区间
上单调递减，则f′(x)≤0在
上恒成立，即
在
上恒成立，所以
综上所述，a的取值范围是
三、函数y=f(x)在某个区间A存在单调区间可转化为不等式有解问题
【例4】已知函数
设h(x)=f(x)-g(x).若函数h(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
【解析】
所以
由于h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0,+∞)时，
有解，即
有解．设
所以只要a>G(x)min即可．而G(x)min=-1.所以a>-1.
【评注】含参函数f(x)在区间[a,b]上存在单调递增区间，则f′(x)>0在区间[a,b]上有解⟺
在区间[a,b]上成立.含参函数f(x)在区间[a,b]上存在单调递减区间，则f′(x)<0在区间[a,b]上有解⟺
在区间[a,b]上成立.
【变式1】若函数
在
上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
【提示】因为
若函数f(x)在
上存在单调递增区间，则f′(x)>0有解.当
时，
解得
【变式2】(2016·长春质量检测试题改编)若函数f(x)=e1-x(-a+cosx)(a∈R)存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【提示】因为f′(x)=-e1-x(-a+sinx+cosx).若函数f(x)存在单调递减区间，则f′(x)<0有解，而e1-x>0恒成立，即-a+sinx+cosx>0有解，所以a<(sinx+cosx)max.又
所以
四、函数y=f(x)在区间A上不单调，则区间A是相应单调区间的子集
【例5】已知函数f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1(k∈R)，若函数f(x)在区间(0,3)上不单调，求实数k的取值范围．
【解析】解法一(直接法)：f′(x)=3x2+2(k-1)x+k+5，因为函数f(x)在区间(0,3)上不单调，所以导函数f′(x)在区间(0,3)上存在变号零点，即f′(x)=0存在变号实根.
令f′(x)=3x2+2(k-1)x+k+5=0，分离变量x与参变量k，则
令
由题意，需k∈h(x) 的值域.令
则
由
得k的取值范围为(-5,-2].经检验当k=-2时，f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0在区间(0,3)上恒成立，即函数f(x)在区间(0,3)上单调递增，与已知矛盾.故k的取值范围为(-5,-2).
解法二(间接法)：易知对∀x∈R，f(x)都不是常量函数.若函数f(x)在区间(0,3)上单调递增，则
所以k≥h(x)max=-2；若函数f(x)在区间(0,3)上单调递减，则
所以k≤h(x)min=-5.综上所述，当k∈(-∞,-5]∪[-2,+∞)时，函数f(x)在区间(0,3)上是单调函数.所以，当k∈(-5,-2)时，函数f(x)在区间(0,3)上不单调.
【评注】函数在区间上不单调可以直接从正面考虑，即导函数存在变号零点，转化为f′(x)在区间上有实根的问题.也可以间接考虑，利用补集的思想求解.
【变式1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R)，若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求实数a的取值范围．
【提示】解法一(直接法)：令f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0，解得
函数f(x)在区间(-1,1)上不单调等价于
或
解得a的取值范围是
解法二(间接法)：令f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0，解得
若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，则区间(-1,1)是单调区间的子集.
当
即
时，函数y=f(x)的单调区间是
则
或
或
解得a≤-5.
当
即
时，函数y=f(x)的单调区间是
则
或
或
解得a≥1.
当
即
时，
函数y=f(x)在x∈R上单调递增.
综上所述，当
时，函数f(x)在区间(-1,1)上单调.反之，当
时，函数f(x)在区间(-1,1)上不单调.
【变式2】若函数f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|在区间(-3,1)上不是单调函数，则实数a的取值范围是
( )
A．[-4,1] B．[-3,1]
C．(-6,2) D．(-6,1)
【提示】f(x)
当a≥0时，
解得
所以0≤a<2；
当a<0时，
解得-6<a<2，
所以-6<a<2,故选C.
(作者单位:陕西省麟游县中学)