再谈必要性探路与变换主元

必要性探路与变换主元可以比较完美的解决2019浙江导数压轴，今天用另一道比较类似的题目继续采取这种方式突破：

1问就这里就不说了，如果1问有困难那么本篇文章完全不适合你阅读。第2问比较显然的是用x=1进行探路，得到a的范围：

下面就是证明，我们得到的这个范围，是充分的。有同学就要问了，为什么确定它是充分的呢？答：因为它是一个高中题，如果不充分，那么普通的高中生就没法做了。

比较容易证明的是x≥1的情况，借助一问结论放缩即可：

0<x<1部分对要证明的结论进行整理后以a作为自变量构造二次函数：

首先我们感受一下Δ，由于h(a)开口向下，所以Δ≤0时，h(a)≤0必然成立。直观上从这个函数形式来说，x→0时，Δ<0是显然的，那么也就是应该存在一个区间(0,k]，在这上Δ是恒小于0的，接下来就是要猜一下这个k的范围，当然为了节约讨论步骤，k越大越好。首先，我们带入x=1/2试试，

这是显然的，那么我们再往右试探一下，什么数适合呢，根据题目已有的提示，可以尝试1/√e，这个数大约在0.6附近，离1/2不太远，而且代入进去不是太难整理：

到这里就可以了，因为我们如果继续向右探，就找不到比较容易计算的值了，利用判别式解决的部分，到这里告一段落。那么接下来，我们就要考虑利用对称轴，显然，这个对称轴如果在1右侧，那么h(a)最大值就取在了a=1处，而a=1我们证明过是成立的。那么问题关键就变为：

通过证明，我们发现上面这个结论是成立的：

通过将x>0的区间分为三个部分分别讨论，最终完成了证明，证明a的范围是充分的：

当然本题做法不止一个，这篇文章使用的思路完全与兰琦解2019浙江压轴相同，不过这里更为详细的介绍了变换主元后，应该如何分割区间，怎么找到1/√e的思维过程，希望对大家有所帮助。