2020清华大学强基一道试题的推广及证明

林根数学 林根数学 今天

今年是强基计划第一年,清华大学的笔试题沿续往年自主招生试题的风格,但难度有所降低,下面就其中的一道立几题进行推广:

题目:在正四棱锥中,相邻两侧面的夹角为α,侧棱与底面的夹角为β,求cosα与tanβ的关系.

事实上,有下面的定理:

在正n棱锥中,相邻两侧面的夹角为α,侧棱与底面的夹角为β,则有

证明:如图所示,正n棱锥PA1A2…An-1An的底面的外接圆半径为1, 则底面边长为2sin(π/n),

作PK⊥A1A2于K,则

又过A1作A1J⊥PA2,连JA3,则A3J⊥PA2,则∠A1JA3=β,

由四面体体积公式有

则由 (6) (7)得

定理证毕.

在此定理中,令n=4,可得

以下题目作为练习:

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