怎样引导孩子进行深度学习？一篇抵万金的好文
导读：我抛出本文要探讨的问题后，诺爸和几位VIP群友在群里讨论了很久。后来，诺爸经过深入思考和整理，形成了下面这篇约6500字的文章，也算是VIP群的一次对外输出吧。很多时候，我们的学习都是追求速度、浅尝辄止，缺乏广度和深度的探索。诺爸的这篇文章我读完只有一个感觉：这是一篇值万金的好文！如果孩子们都能像这样去学习，还有什么学不好？
一、引 言
开心也罢，担心也罢，新的一学年又开始了。很多父母抱怨孩子学数学不会思考，题目看一眼，不会就放弃，根本不会去想想和已经学过的知识有什么区别和联系？怎么先搞懂题目的意思，然后再尝试去解决？孩子的学习习惯和思维方式，不是一下子就能培养起来的，要有方法，有耐心。
作为昍爸的铁杆粉丝，非常认同他的数学思维培养理念。拿到题目，如果不熟悉，没思路，不要怕，拿出纸笔画画算算。
（1）先从简单的情况开始解决，然后找规律，逐步推广，最后再去解决原来的问题；
（2）解完题后，再想一想，这个解是否合理？是否还有其它解？是否可以将问题推广变化一下？
培养这些基本的思考和学习习惯，非常有利于提升孩子的学习兴趣和探索精神。探索成功的喜悦，会让孩子体会到思考的乐趣和成就感，这比直接告诉孩子怎么做一个题要强百倍。探索过的题目，孩子印象深刻。找出典型的题目和问题，按这样的方式带孩子一起学，一起探索，孩子就容易养成会思考和敢尝试的好习惯。这之后，渐渐地，理想的分数只是副产品。
二、兔子数列
今天就来探讨这样一个典型问题：兔子数列的个位周期性。三至六年级的孩子都可以在父母带领下来探索。
这个兔子数列的正式名字叫斐波那契数列(Fibonacci sequence), 大名鼎鼎！之所以这么叫，是因为意大利数学家斐波那契在引入这个数列时，是以某个农民饲养的兔子总数逐月按这个数列增加来介绍的。具体地，兔子数列(斐波那契数列) 如下：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，...
这时就可以启发孩子：满一年(第12个月)的时候，这个农民伯伯一共有多少兔子呀？
带孩子观察这个数列的特点，可以发现：从第3个数开始，任何一个数都是它前面两个数的和。比如，第3个数2=1+1，是第1和第2个数之和。同样地，第10个数55＝21＋34。于是，我们可以推知，满一年时，也即第12个月的兔子总数是第10个月和第11个月兔子总数之和，即55＋89＝144。按这个规律，可以逐步求出兔子数列中任意一个位置的数，而且可以看出这些数会越来越大。
但如果仅仅这样介绍，是不会在孩子脑海里留下多少印象的。于是，辅导材料或学校可能会出下面这样的找规律题目，来巩固孩子的理解：
Q1： 1, 3, 4, 7, 11, 18, ___,47
Q2： 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24,___, ...
刚学过兔子数列，所以孩子应该容易看出来Q1的答案是11＋18＝29, 而且可以按一个数等于前两个数的和来验证29是对的，因为47=18+29。Q2又稍微难了一点点，这可以叫三阶兔子数列了，因为其规律从第4个数开始，任何一个数都是它前面3个数的和。注意到这个特点，答案就7＋13＋24＝44。
如果就学到这里，还只能算作知识的灌输，属于一阶学习：孩子只是学了一种有一定特点的数列，没太多印象，下次见了面能否认得出来还不好说。
三、兔子数列初步扩展
这时候可以带孩子扩展学习，进入二阶学习：兔子数列实际给出了一种构造数列的方法，即一个数可以由它的“邻居”数构造出来。这其实也是常见的找规律题。既然认识这一点，父母何不就此带孩子发挥想象力，构造出不同的数列呢？比如，可以是任何类似于下述规律的具体数列 (简要起见，用an表示数列的第n个数)：
a1, a2, a3=2a1+a2, ...
a1, a2, a3=10xa1+a2-6 , ...
a1, a2, a3=a1-a2, ...
a1, a2,a3=a1xa2-a1, ...
这样放飞想象力，可以激发孩子多思考，让孩子在吵闹玩笑的气氛中学到数列的某些本质东西：前后数(即前后项) 之间的关系。甚至可以顺手把等差数列和等比数列引入进来。
四、兔子数列再次扩展
通过二阶学习的初步扩展，孩子一般可以掌握三四成了。但还可以进一步加深学习和体会。这样可以进入三阶学习：实际体验和深度扩展。为什么兔子数列那么大名鼎鼎呢？它可不是浪得虚名哦，因为它和我们的日常生活以及科学技术都有很多关系。稍微在网上搜索一下，我们就会发现：
1) 向日葵的葵花籽排列和数量满足兔子数列。
2) 蜗牛壳的曲线也跟兔子数列有关。
3) 某些细菌的生长数量和兔子数列。
4) 股票的价格变化也和兔子数列有关。
5) 蒙娜丽莎画像等艺术品的比例和兔子数列有关。
再回到数学上，兔子数列还有很多特殊的数学性质：
6) 前后两个数的比值越来越接近黄金比(近似值为0.618)：
a2/a3=0.667，
a3/a4=3/5=0.6，
a4/a5=5/8=0.625，
...
a10/a11=55/89=0.618,
...
更严格地说，兔子数列每一项都是正整数，但其前后项之比的极限却是黄金分割比，而黄金分割比是无理数。
7) 兔子数列每一项都是正整数，但它的通项公式却要用到无理数根号5。通项公式指用一个n的函数来表示第n项an，比如等差数列的通项公式就是：
an=a1+(n-1)d, 其中d是公差
事实上，兔子数列的数学特性和应用非常多，以至于有一个杂志就是专门研究兔子数列的。
这样的学习体验和深度扩展，可以结合生活中的例子、科普书以及网上科普视频展开。开展得好，孩子功力可以达到5-6成，而且有利于培养观察生活的习惯，增强好奇心、提高学习兴趣。
五、兔子数列个位数字的周期
但在上面三阶学习中，复杂的数学性质不太容易有效地传递给低年级孩子，而仅仅知道相关科普也还不够。起于科普，但不能止于科普。这样就需要选择合适的问题，带孩子撸起袖子来进行实际探索，发现和解决问题，即四阶学习。关于兔子数列，下面就是一个进行四阶学习的好题目。
Q. 兔子数列的个位周期性：即考察兔子数列中每个数的个位是否有周期？如果有，周期是什么？
带孩子一起做，会发现这个周期有，但很长，是60。在这个过程中，可以观察孩子是否能快速准确地写出这几十个个位数？是否能准确地找出周期？是否进行了至少一次的检查或验证？对于小中的娃，可能需要父母帮些忙。小高的能顺利完成，说明学习习惯不错，值得赞一个！
在这个过程中，还有个“聪明的偷懒”方法：不需要写出这60多个具体的兔子数哦，因为我们这里关心的只是它们的个位！否则到后面，每项的值越来越大，不好计算，容易出错。而这样的“偷懒”是值得鼓励的，因为说明孩子抓住了问题的一个关键词：个位数字。具体来说，我们逐个写出兔子数列的个位如下：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8,5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5,4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 3, ...
从上面可以发现兔子数列的个位周期是60, 因为从第61位起，出现1, 1, 2, 3, ...，开始重复兔子数列的头4个数了。但如果到此为止，仅仅满足于算出正确答案，那就浪费了一个好题目，更浪费了一次可以带孩子探索发现的好机会。这时可以继续问几个问题，诱导孩子思考：
Qa) 你怎么看出来周期是60呀？
Qb) 如果我们随便更改兔子数列的头两个数为任意的个位数，得到不同的具体兔子数列，那它们的周期会是多少呢？(大胆猜测一下，父母孩子一起上。)
对Qa的理解，可以帮助孩子确认怎么找周期。在原始的兔子数列中，我们会注意到，出现一个1不一定就意味着我们发现了周期。比如，第8位、第19位和第22位都是1, 但8、19、22都不是周期，因为它们后边的数不能完整重复出现数列的开头几项。进一步，为什么我们能确定周期一定是60呢？就因为它后面的4项重复了兔子数列的开头4项吗？这样问，娃可能就懵圈了，但也会思考：怎么说明60一定是周期呢？有什么办法？
办法当然是有的。如果娃能自主说出下面两个方法之一，那就很棒了。
检查周期的办法一：那我们继续算吧，看能否把头4项之后的56个个位都重复出来？这是可以的，虽然比较累。
检查周期的办法二：第61和62位出现1, 1，就说明后面会重复出第3至第60位的58个数字了！这是因为兔子数列是由前面的两个数决定的，这样第63位一定是1＋1，正好重复了第3位！接下来的也一样。如果能领悟到这一点，可以说孩子就进入了初步的顿悟境界，抓到了问题的一些本质特性，可以较深刻而简洁地掌握兔子数列的本质，初步体会发现的美和快乐。这样来解释周期是60，要比方法一高明很多。方法一是踏实的基本功，需要，但是笨拙，不灵巧，也还没有抓住本质。
确定了原始兔子数列的周期是60之后，我们就可以问Qb了。这个问题就有些创新性和一定的研究价值了，因为就连我们大人(数学大神和学霸除外) 也会感觉题目意思我懂，但这个怎么解呀？没见过类似的题目，也不知道什么方法或解题技巧可以用得上。
在尝试解答之前，我们不妨和孩子一起再次放飞想象的翅膀：来猜测一下不同的开头，兔子数列的个位会出现什么样的周期？我的猜想是：100的因子或100以内与100的公约数大于1的数. 这个其实有点快进了，怎么会说到100了呢？因为我已经看出来：
R1) 不同的开头，兔子数列的个位周期不会大于100！
启发孩子思考一下，兔子数列由头两个数完全决定，所以只要在后面的位置中，头两位再次出现，周期就出现了，因为后面一定会重复前面的部分。而前后两个位置个位数字的不同排列一共只有100种可能，即：00, 01,..., 98, 99. 这样，最多把这100个不同排列全部展示后，一定会出现重复的，所以周期不可能大于100。换句话说：任何两个个位数字开头的兔子数列，其周期都只能是1-100之间的某个数。
领略到这一点，我们对兔子数列的认识又高了一个层次。因为这让我们对一下摸不着头的问题Qb有了一个范围：所有两个个位数字开头的兔子数列的个位周期都小于或等于100！
这是个简要而有力的断言，使得我们对问题的整体有了感觉：这些周期没那么大，只在100以内。数学中这样有力的著名断言和猜想很多，比如：哥德巴赫猜想，即任何大于4的偶数都可以写成两个素数之和；栾生素数猜想，即栾生素数对(即距离为2的两个素数，比如11和13）是无穷的。基于华裔数学家张益唐的突破性成果，目前孪生素数最好的结果是：距离不大于246的“近似栾生”素数对是无穷的。
知道任意两个个位数开头的兔子数列的个位周期都小于或等于100, 就像我们知道了一个商场的外在大小和样子，离我们了解这个商场还差一大截：比如每层都卖什么东西呢？里面布置如何呀？对于兔子序列的周期也一样，现在要继续研究它的细节，这就是Qb。但我们现在可以把Qb更细化一点，问得更具体一点，变成下面的问题：
Qc) 以任意两个个位数开头的兔子数列，都有哪些周期？可以是1-100中的任何数吗？最大周期是多少？最小周期是多少？100以内的数有没有被跳过的？
回顾一下，现在我们已经知道每个这样的周期都只能是1-100之间的数，而且11 (下面我们把数字连写表示连续的个位数字) 开头的兔子数列，其周期是60。由于两个不同个位数的开头只有100种情况，即：00, 01,..., 98, 99, 所以他们的周期最多也就能对应到1-100这个100个数。所以最特殊的情况是：每一个开头对应一个不同的周期，也就是说不同的开头对应不同的周期。而如果某些不同的开头对应了相同的周期，那一定有些可能的周期数被跳过。
没有人告诉我们更进一步的信息，那我们就自己来找出这些周期吧：一共也就100种不同的开头，周期最大也不超过100。每个都算可能会有点累，但也不是做不了 (拿出一个下午？)。现在就按本文开头的思路来做：先从简单的情况开始解决，然后找规律，逐步推广，最后再去解决完整的问题Qc。最简单的两个个位数开头肯定是00, 于是我们很容易就能列出对应兔子数列的个位数列为：
00开头：000000...
都是0呀，因为第3个个位起，都是0+0=0。所以，00开头的周期就是1。太简单了！那现在来看第二2个开头，01。
01开头：0112358314 ...
这里我们只列举出了这个个位数列的头10位，就可以发现它只是比11开头的数列多了第1位0, 其他位置就是重复11开头的数列了。思考一下，这是什么意思？是否就此可以断定01开头的周期一定是60或61呢？思考并解决这个疑问，我们就会得到：01开头的周期也是60，因为根据兔子数列一个数由它前面的两个数完全决定这一特点，一旦第2和第3位出现的是11, 后面数字就是重复开头为11的数列。这样，我们再一次“偷懒”，没有完整列举01开头的完整数列，就判断出其周期是60。其实，完整算出这整个周期也没问题，只是辛苦一些。到此，我们就发现00开头的周期是1, 而01和11开头的周期都是60。接下来我们就着急去找02开头数列的周期吗？
不，这里不该着急，而是要停下来想一想：为什么01开头和11开头的周期都是60？还有其它的开头也具有周期60吗？思考，再思考一下，孩子或许就能发现：
R2) 原始兔子数列个位的前61个数字串中，以任何两个连续的数字开头的兔子数列，其个位的周期都是60！
比如我们刚发现的01开头，就是11开头这个原始兔子数列第60和第61位的组合。同样的，第2和第3位的组合是12, 第3和第4位的组合是23, 于是以12和23开头的兔子数列，周期也是60。原因是什么呢？其实并不复杂，因为这是周期的特点。如同一共星期是7天的一个周期，我们可以说周一到本周日(两边都包含) 是一个星期，也可以说周二下周一是一个星期，周三到下周二是一个星期，等等。
R2这个关于周期的一般性认识，不仅加深了我们对周期性的理解，而且我们马上就可以得出一大批周期是60的不同开头组合呀！整整60个！！兴奋吧。因为我们又一次聪明地偷了懒：这60个不同开头的周期不用一个一个算了，都是60。
这样，一共100个不同的开头，需要再研究只剩39个了(不要忘记我们也知道00开头的周期老简单了，就是1) 。现在要做的自然就是找出下一个不知道周期的开头。哦，为了找出这个开头，我们需要做点统计工作：拿出坐标纸或方格纸，画一个10x10表格，我们把它叫做周期表。然后，把00和所有周期为60的开头都填写进去，并做上不同的标记。这样我们马上就看出，下一个不知道周期的开头是02。计算一下，会发现这个开头对应的周期是20(一个新的周期) 。
02开头的周期是20：0224606628 0886404482 02...
毫不奇怪，我们自然可以再用R2推知，还有19个不同开头的数列，其个位数列的周期也是20。这些不同的开头就是以20开头的序列中，前21位里面的任意两个连续位的组合，也就是说除了02, 还有22，24，46，60，06，66，62，28，...。于是我们又找到了20个周期为20的开头组合。收获不小吧！把这些数逐个填入周期表中，空位就只剩19个了。
继而就看到05开头的周期还不清楚，但这个非常简单：
05开头对应的周期是3：0550550...
再次用R2，我们就知道：05, 55, 50这个3个不同的开头，对应的周期都是3。把他们也填在表中，这样就还有16个开头对应的周期我们不知道了。接下来，如法炮制，找出现在第一个不知道周期的开头是13, 就可以找出12个周期是12的不同开头。又是一小窝！因为：
13开头对应的周期是12： 134718976392 13...
把这些数填入表中，继续乘胜追击，就可以找出最后4个周期是4的不同开头数是：26, 68, 84和42。因为：
26开头对应的周期是4：2684 26...
至此，可以开心地带着孩子庆祝胜利了：我们彻底解决了关于不同个位数开头的兔子数列个位数字的周期性问题，即圆满回答了问题Q, Qa, Qb和Qc。得到的主要结论如下：
R1) 不同两个个位数开头(其实任意的两个非负整数开头都可以)，兔子数列的个位周期不会大于100，而且本质上只有100种不同的开头(在考虑个位数字周期的背景下)。
R2) 如果以两个个位数a1a2开头的兔子数列的个位数周期是n, 我们记该个位数列头n个数字为a1a2a3…an-1an，那么以a1a2，a2a3 ，…，an-1an，ana1开头的这n个兔子数列的个位数字的周期也都是n。
R3) 所有以两个个位数字开头的兔子数列一共100个，其中60个数列其个位数字的周期是60；20个数列周期是20；12个数列周期是12；4个数列周期是4；3个数列周期是3；1个数列周期是1。因此，这些兔子数列个位数的最大周期是60, 最小周期是1。除了1, 3, 4, 12, 20和60外，其他的数都不是周期。
六、经验总结
再来回顾下，我们解决兔子数列个位周期性问题所用的基本方法和思路是：拿到题目，如果不熟悉，没思路，不要怕，拿出纸笔画画算算。(1) 先从简单的情况开始解决，然后逐步推广，找规律，最后再去解决原来的问题。(2) 解完题后，想一想，这个解是否合理？是否还有其他解？是否可以将问题推广变化一下？通过多次这种典型问题的探索式学习，孩子就可以逐步形成爱思考和敢尝试的良好学习习惯，并同时提升了学习兴趣和探索精神。
致谢
特别感谢昍爸VIP群的果爸和玉米妈在线一起找周期！正是由于大家的一致努力，我们很快就弄清了兔子数列个位数字的周期性。
END