面积计算（三十三）

我们来看一个难一点的例子。

如图所示，以正方形AB为斜边作Rt△ABE，∠AEB=90°，AE=4，BE=6，求△OED的面积。

这个问题怎么考虑？

还是那句话，先把能得到的结论搞出来再说。

看来求出OD的长度以及OD边上的高是没什么指望了——小学不能用根号。那么求OE，DE的长度及其对应的高？看起来更不靠谱，对于小学生来说，求线段长度比求面积难——三角工具没有，一般的三角形根本没法解，所以都是通过面积转化来求线段长度。因此这个题目中想分别求底和高然后用面积公式一套的路子基本就算完了。

这就是判断。题目是做不完的，你想通过做大量的题目来混个脸熟的工作量实在太大了，所以面对陌生的题目如何找思路就是关键，像这个题目中我们用最自然的思路尝试解决，但是看起来失败了。

这时候面临两种选择：一是这条路确实不对；二是这条路对，但是你缺乏能力驾驭？怎么办？

这时候可以适当地再尝试一下，看看能否再求出一条不用根号表示的线段，你会发现真的没办法，所以这时候可以考虑换一条路。

路子对没有办法驾驭和错误的路是等效的，既然实在没办法，那不换路难道坐以待毙？

下一个问题：怎么换？

除了直接法，那就考虑间接的办法——等积变换？这里哪个三角形和△ODE面积相等呢？很显然，△OBE满足这个条件，于是问题转化成了求△OBE的面积。如果挑OB为底，那么其实△OBE和△ODE用的是同一条高，所以肯定不行；但是△OBE有一个△ODE不具备的优势：BE的长度是6，是个整数！

所以我们很自然地想：过O作OH垂直于BE，这就是高了，然而长度是多少？

于是我们又失败了。

那么作平行线的等积变换呢？过E作平行线平行于BD？那么平行线考虑是和AB相交还是和AD相交呢？像这种强行构造出来的梯形是何等的丑陋啊！怎么可能会对呢？

真的，在初中的话，我们有N种暴力的方法能把这个题给解了，但是现在对象是小学生，怎么办？

而且这个题目就算你用暴力解出来，再往回套也是有困难的，因为OD的长度是无理数，所以高求出来一定很难看。

难道陷入绝境了么？

没关系，我们再换一条路。求面积除了直接法和等积变换以外，别忘了还有一招：大减小。

这算什么招数？！

当然算啊！为什么不算？我们看到△OED的面积等于△BED的一半，所以等价于求△BED的面积。而△BED的面积等于△BAD的面积减去△ABE和△AED的面积，△ABD的面积等于AB^2/2，△ABE的面积等于12，只剩下△AED的面积了。

怎么求？

选AD作底？E到AD的距离看起来就很难求。AE做底也是个选择，毕竟AE的长度也是有理数，当我们过D作高的时候，就发现题目做完了。

为什么？这不是由变成四个直角三角形拼正方形的那个模型了？所以AE边上的高就是AE的长度，所以△ADE的面积就是4×4/2=8。

所以△ODE的面积等于(26-12-8)/2=3。

其实我始终觉得，错误的方法有时候对初学者来说更有借鉴意义，你觉得呢？