重庆南开中学高2021届月考第21题：椭圆中弦张直角问题

重庆·云师堂

高二的小伙伴应该学到《圆锥曲线》了，相信一大波吐槽在路上。

关于圆锥曲线的吐槽从来就没有消停过，还真不全是矫揉造作，无病呻吟，我能理解。圆锥曲线有难度，这个应该承认。

难也得学，分数不是大风刮来的，所以没有选择。可话又说回来，谁还不是一样，前仆后继，向死而生。

下面给出一道南开中学的月考题，仔细思量，也许可以窥见端倪。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

圆锥曲线的题目可易可难，纵观近几年高考，无一不是。

本题并不新奇，但却非常典型。第一问求方程，第二问求面积的最值，尤其适合成绩中档的学生，是深刻领悟解题精髓的模板。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

第一问，直线bx+ay-ab=0恰好过椭圆的右顶点与上顶点，等面积法与点到直线的距离效果一致。

第二问，实质上是直线过定点问题。这里的定点D，可先由对称性判断在x轴上（如下图所示）。一旦定点的坐标确定，面积便易如反掌。

【法1】，韦达定理。反设直线方程并联立椭圆方程，化简得到韦达定理；以BC为直径的圆过点A，则AB⊥AC，于是向量（或斜率）派上用场；代入韦达定理，求得定点坐标，进而求得三角形面积的最值。

法1思路清晰，步骤严谨，单刀直入，一气呵成，是叨叨所提倡的方法。

【法2】，直径式圆。将直线代入椭圆，分别消去变量y与x得到两个一元二次方程，然后将两个方程相加得到以BC为直径的圆的方程；代入点A的坐标即可求得定点坐标，剩下的与法1一致。

直径式圆的方程在教材的习题中有，是解题的神器，往往不经意间解题于无形。

【法3】，齐次化。以A点为坐标原点，建立新的直角坐标系，并由此确定椭圆方程；在新坐标系下设直线的方程，联立椭圆得到齐次方程，则直线AB与AC的斜率即为方程的两根，由韦达定理求得定点坐标；接下来与法1一致。

另外，本题亦可采用“点乘双根法”，限于篇幅，不作赘述，感兴趣的可自行尝试。

4  操作

行同陌路，抑或一见如故