初中奥数精讲——第28讲 计数方法（二）
本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。
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一、知识点解析
1. 所谓计数，就是数数，即把我们研究的对象的数目数出来。在计数问题中常常根据所给问题的知识背景把它分为几何计数问题与代数计数问题。
2. 解决计数问题常用的方法
（1）枚举法。就是要把要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的过程。枚举法的列举过程中，必须注意既不重复，也不遗漏，必须力求有次序、有规律地进行。
（2）原理法。即为利用加法原理、乘法原理和容斥原理进行计数的方法。
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法。在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，。。。，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。。。+mn种不同的方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤。做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，。。。，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法。
运用上述两个原理的关键在于分类要恰当，分步要合理。分类必须包括所有情形，又不交错在一起产生重复，要依据同一标准划分。分步则应使各步首尾相接，环环相扣，随着各步依次完成，保证整个事件得到完成，不得多余或重复，也不得缺少某一必要步骤。
容斥原理：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的技术方法。
两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）。
三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。
（3）代数法。就是利用方程（组）或不等式（组）和递推完成计数的方法。
（4）配对法。又称一一对应法。如果集合A、B之间能够建立一个一一对应，那么这两个集合中的元素一定相等（不考虑元素个数无限的情形），记作|A|=|B|.如果集合A中的元素个数不好计算，便设法寻找一个能与A建立一一对应，而又便于计算其中元素个数的集合B，通过求|B|来确定A。
（5）作图法。
这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，计数方法是很有意思的一类奥数题。这部分题型特殊，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在计数方法的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1 （“五羊杯”数学竞赛题）
已知直角三角形ABC的三边长都是整数，而且都不超过1999，其中∠A=90°，BC+AB=2AC，则一共有_________个这样的△ABC。
例2
数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3,1+2,2+1,1+1+1.问2004表示为1个或几个正整数的和方法有多少种？
例3
如图，ABCD是一个长和宽分别为3个单位和2个单位的矩形，沿图中线段从A到C最短路线的长度是5个单位，那么从A到C有几条不同的最短路线？
例4
直线上分布着1990个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能线段的重点，试求：至少可以得出多少个互不重合的中点？
例5
电话号码由7位变成8位，可以增加多少个不同的号码？
例6
将编号1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中，每个盒子中只放入一个。
（1）一共有多少种不同的放法？
（2）若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？
例7
用24个面积为1的单位正方形拼成如图所示的正六边形，我们把面积为4的正三角形称为“希望形”。请问图中共可数出多少个不同的“希望形”？
例8
（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？
（2）试设计一种方法，把一个大立方体分割成55个小立方体？