借助可视化,最直观理解梯度,以及偏导数、方向导数和法向量等
写在前面
梯度是微积分中的基本概念,也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具(梯度下降算法),虽然常说常听常见,但其细节、物理意义以及几何解释还是值得深挖一下,这些不清楚,梯度就成了“熟悉的陌生人”,仅仅“记住就完了”在用时难免会感觉不踏实,为了“用得放心”,本文将尝试直观地回答以下几个问题,
梯度与偏导数的关系? 梯度与方向导数的关系? 为什么说梯度方向是上升最快的方向,负梯度方向为下降最快的方向? 梯度的模有什么物理意义? 等高线图中绘制的梯度为什么垂直于等高线? 全微分与隐函数的梯度有什么关系? 梯度为什么有时又成了法向量?
闲话少说,书归正传。在全篇“作用域”内,假定函数可导。
偏导数
在博文《单变量微分、导数与链式法则》(https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10324601.html)中,我们回顾了常见初等函数的导数,概括地说,
导数是一元函数的变化率(斜率)。导数也是函数,是函数的变化率与位置的关系。
如果是多元函数呢?则为偏导数。
偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数,这里“退化”的意思是固定其他变量的值,只保留一个变量,依次保留每个变量,则 元函数有 个偏导数。
以二元函数为例,令,绘制在3维坐标系如下图所示,
在分别固定 和 的取值后得到下图中的黑色曲线——“退化”为一元函数,二维坐标系中的曲线——则偏导数 和 分别为曲线的导数(切线斜率)。
由上可知,一个变量对应一个坐标轴,偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数(切线斜率)。
方向导数
如果是方向不是沿着坐标轴方向,而是任意方向呢?则为方向导数。如下图所示,点 位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率,来自链接
Directional Derivative
https://www.geogebra.org/m/Bx8nFMNc
方向导数为函数在某一个方向上的导数,具体地,定义平面上一点( 以及单位向量 在曲面 上, 从点 出发, 沿方向走 单位长度后, 函数值 为 则点 处 方向的方向导数为 :
上面推导中使用了链式法则。其中, 和 分别为函数在 位置的偏导数。由上面的推导可知:
该位置处,任意方向的方向导数为偏导数的线性组合,系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时,方向导数即偏导数,换句话说,偏导数为坐标轴方向上的方向导数,其他方向的方向导数为偏导数的合成。
写成向量形式,偏导数构成的向量为 称之为 梯度
梯度
梯度,写作 二元时为 多元时为 。
我们继续上面方向导数的推导, 处 方向上的方向导数为
其中, 为 与 的夹角,显然,当 即 与梯度 同向时,方向导数取得最大值,最大值为梯度的模 当 即 与梯度 反向时,方向导数取得最小值,最小值为梯度模的相反数。此外 根据上面方向导数的公式可知,在夹角 时方向导数为正,表示 方向函数值上升, \frac{\pi}{2}' data-formula-type='inline-equation'> 时方向导数为负, 表示该方向函数值下降。
至此,方才有了梯度的几何意义:
当前位置的梯度方向,为函数在该位置处方向导数最大的方向,也是函数值上升最快的方向,反方向为下降最快的方向; 当前位置的梯度长度(模),为最大方向导数的值。
等高线图中的梯度
在讲解各种优化算法时,我们经常看到目标函数的等高线图示意图,如下图所示,来自链接
Applet: Gradient and directional derivative on a mountain
https://mathinsight.org/applet/gradient_directional_derivative_mountain
图中,红点为当前位置,红色箭头为梯度,绿色箭头为其他方向,其与梯度的夹角为 。
将左图中 曲面上的等高线投影到 平面,得到右图的等高线图。
梯度与等高线垂直。为什么呢?
等高线,顾名思义,即这条线上的点高度(函数值)相同,令某一条等高线为 C为常数,两边同时全微分,如下所示
这里,两边同时全微分的几何含义是,在当前等高线上挪动任意一个极小单元,等号两侧的变化量相同。 的 变化量有两个来源,一个由x的变化带来,另一个由y的变化带来,在一阶情况下,由 带来的变化量为 由 带来的变化量为 两者叠加为z的总变化量,等号右侧为常数,因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元,其变化量为0,左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式,( )为梯度, 为该点指向任意方向 的极小向量,因为两者内积为0,所以两者垂直。自然不难得出梯度与等高线垂直的结论。
更进一步地,梯度方向指向函数上升最快的方向,在等高线图中,梯度指向高度更高的等高线。
隐函数的梯度
同理,对于隐函数 也可以看成是一种等高线。二元时,两边同时微分,梯度垂直于曲线,多元时,两边同时微分,梯度垂直于高维曲面。
即,隐函数的梯度为其高维曲面的法向量。
有了法向量,切线或切平面也就不难计算得到了。令曲线 上一点为 通过全微分得该点的梯度为 则该点处的切线为 相当于将上面的微分向量 替换为 其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。
小结
至此,文章开篇几个问题的答案就不难得出了,
偏导数构成的向量为梯度; 方向导数为梯度在该方向上的合成,系数为该方向的单位向量; 梯度方向为方向导数最大的方向,梯度的模为最大的方向导数; 微分的结果为梯度与微分向量的内积 等高线全微分的结果为0,所以其梯度垂直于等高线,同时指向高度更高的等高线 隐函数可以看成是一种等高线,其梯度为高维曲面(曲线)的法向量
以上。
参考
Gradients and Partial Derivatives Directional Derivative Applet: Gradient and directional derivative on a mountain Gradient descent Gradient Partial derivative ppt Partial derivative