【中考数学】“线段最值”系列之(2)将军饮马问题及变式

一、原型再现

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:'白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河'诗中隐含着一个有趣的数学问题.

这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦,一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.

如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短?

这个问题的解决并不难,据说海伦略加思索就解决了它,从此,这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传.

将此实际问题抽象成以下数学问题

问题1如图1,在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB最小.

图1                  图2

简析如图2,作出定点B关于定直线l的对称点C,连接AC,与定直线l的交点Q即为所要寻找的点,即当动点P跑到了点Q处,PA+PB最小,且最小值等于AC.

解决这个的主要思想是:“对称转化”,即通过作其中一个定点关于定直线的对称定点,转化两点之间的距离最值,再结合本质原理“两点之间,线段最短”.

二、模型变形

变式1(异侧型)

问题2:如图3,已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定(长度为d),在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。

图3                     图4

简析:如图4,过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d,连接BC交直线m于一点即为点Q,过点A作CQ的平行线交直线m于点P;因为线段PQ长度恒定,所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小,由平行四边形性质可知PA=CQ,所以PA+QB就转化为CQ+QB的最小值,结合“两点之间线段最短”即可解释.

上面对于问题2的解决,主要思想是“平移转化”!

变式2(同侧型)

问题3如图5,已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定(长度为d),在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小.

图5                 图6

简析:如图6,过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d,作点B关于直线m的对称点B’,连接B’C交直线m于一点即为点Q,过点A作CQ的平行线交直线m于点P;因为线段PQ长度恒定,所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小,由平行四边形性质和对称性质可知PA=CQ、BQ=BQ’,所以PA+QB就转化为CQ+QB’的最小值,结合“两点之间线段最短”即可解释.

上面对于问题3的解决,主要思想是“对称转化”和“平移转化”!

变式3(过河问题)

问题4如图7,已知A、B是两个定点,两条平行直线l与m之间的距离为定值d,在定直线l上找一动点M,在定直线m上找一动点N,且MN始终垂直于定直线l(或m),使AM+MN+NB最小.

图7                图8

简析:如图8,主要思想是平移转化,同学们请自行尝试解释.

初中阶段所学过的具有轴对称特征的图形均可作为“将军饮马”问题的背景,关键是找到“那条河”,然后利用对称转化、平移转化等思想就可轻松解决问题,下面让我们进入实战演练.

三、实战演练

例1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,EAB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为    .

图9            图10

简析:第一步:作图,此图为饮马模型,找到“那条河”了吗?只不过它斜着的,即为AC,因此只要作出点B或点E关于AC的对称点,再利用两点之间线段最短就可解释.因为正方形为轴对称图形,AC就是对称轴之一,所以点B关于AC的对称点就是点D,连接DE与AC交于点Q即为所求;第二步:计算,利用勾股定理易得△BEQ周长的最小值为6.

例2.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点AB分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.

图11

(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点的坐标;

(2)若E、F为边OA上的两个动点(E点在F点左边),且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.

简析:(1)第一步:作图.这是典型的“饮马问题模型”,首先找到“那条河”,再利用对称转化即可解决.如图,可以作点D关于轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,此时△CDE的周长是最小的.这样,你只需求出的长,就可以确定点E的坐标了.第二步:计算.利用一次函数或相似均可求解,点E的坐标为(1,0).

图12         图13

第一步:作图,此问题为饮马问题变式2,利用“平移转化”和“对称转化”解决问题.如图11,取CG=2,作点D关于x轴的对称点D,连接GD,交x轴于一点即为点E,再过点C作GD的平行线交x轴于一点即为点F;第二步:计算,同上亦可采用函数法和相似法求解,解得E、F点坐标分别为(三分之一,0)、(三分之七,0).

四、配套练习

1.如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为   .

2.如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,EM+CM的最小值为____________.

3.如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点,若MN=1,则△PMN周长的最小值为__________.

4.如图,在菱形中ABCD,AB=6,∠ABC=60度,点M、N分别在AB、AD边上,AM=AN=2,P是对角线BD上的动点,则PM+PN的最小值是          .

5.在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,则PA+PB的最小值为______.

6.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足S矩形ABCD=3S△PAB.则PA+PB最小值为____.

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