教学与解题的哲学思考2——特殊与一般

一般性

（一）从特殊到一般普遍性寓于特殊性之中，从特殊的问题出发，拓展、总结出处理问题的一般方法，即通性通法，这是从一个题到一类题。

点评：从这个特殊问题，找到了处理函数的零点问题的三种基本方法。

（二）从一般看特殊

事物的一般性为我们指明了研究的大致方向，从函数的观点看数列，其实就是从“一般”去看“特殊”，这为我们的研究提供了大致的方向，比如我们研究函数的单调性、最值和图像，那么在数列中，我们同样也可以研究数列的单调性、最值和图像，这样的题目很多，如：

特殊性

（一）抓住问题的特殊性

我们常常强调从特殊到一般，即寻找问题的通性通法，在高广泛的层面进行概括，但则不足以把问题研究清楚，每一种事物存在又具有特殊性，正是这种特殊性构成了一事物区别于其他事物的特殊本质。比如要了解一个人，既要洞悉人性，又要洞悉人心，是人皆有人性，对人性指导我们对这个人哪些方面进行考量，但这不足以把这个人研究清楚，还要了解这个人的心，了解这个人的特殊背景和性格的形成等等。

特殊性的发现往往大大提高了解题效益，比如例 1，基于函数过定点(0,1)这一特殊性的发现，很快排除a > 0，在a < 0的情况下，只需要极小值大于 0 即可。整个题作为选择题，特值法和排除法又得到了很好的运用。再举一例

【分析】数列是定义域为正整数或正整数子集的函数，若零点为整数，则可以视为数列，研究数列的根本方法就是列出来、观察、猜想。

（二）特殊位置的妙用和慎用

1.特殊位置的应用强调对整个过程的直观感知和理解

我们在生产生活中，都希望以最小的投入产生最大的效益，那最值是我们最关注的。最值是一个特殊值，而特殊值一般在特殊的情况和特殊的位置取得，这启发我们，在选择填空题可以直接由特殊位置，特殊的情况来求最值。这常常让我们屡试不爽，但要想清楚其原因，强调对整个过程、整个事物的直观感知和理解。

2.特殊位置的作为一个很好的切入点

在这个复杂问题中，数形结合、特殊到一般的思想，以及运动变化的观点都被充分的运用起来了.在面对具体的问题，问题的关键不在于我们具不具备这些思想，而在于如何让它们合理地组合，有序地展开.基于这个题，我们从四个维度来解读方法：一种方法要落实下去，必然要有一个切入点——特殊情况；一种方法要能够深入下去，必须有一个顺序——特殊到一般；学生的难点在于如何由特殊推广到一般，一种方法的背后一定有更为深刻的、本质的思想或观点——运动变化的观点.

3.特殊位置的慎用

【考试中心的试题评价】试题面向全体考生，侧重知识和方法的应用，有效检测考生对线性规划问题的理解，同时注重运用数学手段解决实际问题。在解题的过程中，有一个环节值得重视。由本题的实际情况可知，尽管没有明显给出，本题的约束条件还有x ≥ 0, y ≥  0，再结合三条直线得到可行域。但有些考生在做题时，往往回避作可行区域图，不恰当地省略了判断二元一次不等式组所表示的区域这一步骤，而是仅仅根据直线方程求出“可行域”边界所对应的三条直线的三个交点，然后将三个交点坐标依次代入目标函数，再确定目标函数的最值。本题既考查了考生的知识，有对中学教学有很强的指导作用，使得以后的教学中，可行区域图的概念会得到重视，这才是学习线性规划的本意。

4.特殊图形作为很好的载体，帮助我们直观理解

以周长一定，围成三角形，正三角形面积最大；围成的四边形，正方形面积最大，进一步得到一个非常直观的结论：其边长的误差越来越小，则面积越来越大，故选B.

三、特殊化——以退为进

由此看到一个一般性的结论和问题，是抽象概括出来的，对于学生来说，理解起来有一定难度，如果运用起来，更有难度。那我们可以以退为进，把一个一般性问题退化为特殊性问题，退到最简单但不失本质的情况，通过解决简单的特殊问题来回应我们一般性问题。

华罗庚说：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。”

四、一般化

有时候，特殊问题具有很多限制条件，使得问题不好处理，去掉某个限制条件，问题变得很简单，在此基础上补上限制条件，问题很容易突破了。

参考书籍：

《全国卷高考数学分析及应对》策略的章