微积分的哲学基础//邓如山

网友“日冲信息”在悟空问答上提出了古已有之的数学问题：既然10／3等于除不尽的0.3333...那么为什么一根10米的绳子却能分成三等份？网友的问题在古代中国和古希腊的哲学文献中早已出现，文献《庄子》记载了老庄哲学的一段话，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是将一尺之长的棒棰第一次分成1／2的两半，接着将1／2的棒棰第二次分成1／4的两半，接着将1／4的棒棰第三次分成1／8的两半，如此地分割下去，对捧棰二等份的物理分割变成了等比性的无限序列数组：1／2，1／4，1／8，1／16，1／32...。古希腊哲学家芝诺以逻辑哲学语词最早提出了“飞矢不动”的芝诺悖论，如果一支箭从A点飞向B点，那么它必须穿过AB线之间1／2的中点C，从A点飞向C点，它必须穿过AC线之间1／4的中点D，从A点飞向D点，它必须穿过AD线之间1／8的中点E，如此穿越下去，这支箭无限次地向邻近的“中点”穿越，这相当于它在A点的位置上静止不动。“飞矢不动”的芝诺悖论和棒棰分割的“庄子悖论”符合数学哲学悖论性的等效关系或等效性的悖论关系。

1米或10米长的绳子如何能无限均匀地分成三段，这一设问触及了1／3这个无理数的数学问题，像1／2是有理数，分子1能被分母2除尽，1除以2等于0.5，像1／3是无理数，分子1不能被分母3除尽，1除以3等于0.333...。无理数的出现曾导致了科学史上的“第一次数学危机”。公元前5世纪的古希腊著名哲学家和数学家、“数字哲学”的创始人毕达哥拉斯在欧洲最早发现了“毕达哥拉斯定理”，这一定理相当于中国版的“勾股定理”，“万物皆数”的毕达哥拉斯学派的一位成员希巴斯在对毕氏定理的思考和计算中发现了一个奇异性的数字：如果直角三角形两个直角边的边长为1，那么直角三角形的一个斜边长是一个根号2的非整数。希巴斯第一次发现了无理数，这对毕达哥拉斯学派正统数学的整数观念产生了致命性的冲击，在欧洲数学史上兴起的无理数风波被称为“第一次数学危机”，希巴斯为自己的数学发现付出了生命的代价，他是古希腊科学时期的“布鲁诺”。

物体或空间尺度无限分割的“庄子悖论”和“芝诺悖论”既涉及到古代数学的无理数问题，也涉及到近代数学无穷小量的微积分问题，无穷小量实质上也是一个无理数，因此，无理数和无穷小量符合数学哲学概念论的等效原理。17世纪的哲学家和数学家牛顿和莱布尼玆几乎同时发现了微积分的计算方法，微分和积分的“无理数”属性引起了科学史上的“第二次数学危机”。微积分的计算方法解决了计算行星运行轨迹一类的非规则线型、图案和体积问题，极大地拓展了人类的计算范围和计算能力，但牛顿和莱布尼玆没有建立严谨语言描述的微积分理论，对无穷小量基本概念的理解和表述漏洞百出。大数学家柯西最终化解了第二次数学危机，他用数学极限运算的工具严格定义了无穷小量的基本概念，从而夯实了微积分理论大厦的基础。

第二次数学危机的解决相当于在更高理论层次上解决了第一次数学危机中有关无穷计算的连续性问题，这就好像爱因斯坦的时空理论在更高理论层次上克服了牛顿机械唯物主义时空理论产生的危机一样，这说明更高层次的理论既能解决本层次的理论和应用问题，也能以更高理论层级解决低层次的科学理论和实际应用问题，前者的“主体性作用”和后者的“伴随性作用”符合科学哲学作用论的等效原理。主体作用论和伴随作用论的等效原理同样可以应用到经济哲学的领域，比如：一些旧的经济结构问题当时没有得到解决，但人们在创建新的经济结构中不仅解决了现实的新经济体系问题，而且也解决了过去遗留的旧经济体系问题。事件的主体性效应和伴随性效应的等效关系可以简约而形象地概括为“一箭双雕”或“一箭三雕”。

微分是积分的逆运算，反之，积分是微分的逆运算，因此，微分和积分符合数学哲学互逆性的反等效原理。无穷小量是无穷大量的倒数，反之，无穷大量是无穷小量的倒数，因此，无穷小量和无穷大量符合数学哲学互倒性的反等效原理。无穷小量无限趋近于零，但不等于零，因此，无穷小量和零符合数学哲学趋同论的等效原理。极限、导数或曲线的斜率、微积分实际上是建立在无穷小量概念基础上的数学运算，微分是指让一个变量的增量趋于无限小，但不等于零。当某一函数Y＝f（X）的自变量X有一个无穷小量的增量时，这一函数的因变量Y有一个相应的增量，因变量的增量和自变量的无穷小量增量之间的比值为这一函数的斜率或导数，微分变成了对函数求导或求曲线斜率的运算。回到网友“曰冲信息”在悟空问答上提出的问题，如何将一根10米长的绳子均等地分成三等份？每根绳子的长度为一个无理数1／3的10倍、或3.333...米，1／3和3.333...米的差值为一个无穷小量，同样，三段绳子加起来的长度9.999...米是一个无限可循环的无理数，10和9.999...的差值也为一个无穷小量，由于微积分或无穷小量的哲学基础是无穷小量等效于零，因此，将10米长的绳子“一分为三”的最小误差值为零，但无穷小量不等于零，人们只能在某一误差值的范围内将10米长的绳子均等地分为三段，误差值的大小取决于人们实际的需要和感受，有的人拿尺子去丈量，有的人拿放大镜去观察，有的人目测就行。微积分运算的误差值在理论上趋近于零，因此，它适用于对曲线、曲面、曲体的精确计算。