这是圆的综合题，要证切线并求线段长，关键是切线的判定和性质

例题：（初中数学综合题）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC．过点O作OE∥BC交AC于E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若∠BAC=30°，AB=4，求线段CF的长．

知识回顾

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

平行线的性质：两直线平行,同位角相等。两直线平行,内错角相等。两直线平行,同旁内角互补。

分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）证明：连接OC，（图略）

（证明切线连半径是常用辅助线）

∵OE∥BC，

∴∠OEA=∠ACB，（根据平行线的性质得到）

∵AB是⊙O的直径，

∴∠OEA=∠ACB=90°，（由圆周角定理得到）

∴OD⊥AC，

∴AE=EC，（由垂径定理得到）

∴DA=DC，（根据线段垂直平分线的性质）

∵DO=DO，OC=OA，

（全等三角形的判定SSS）

∴△ADO≌△CDO（SSS），

∴∠DAO=∠OCD，

∵DA为⊙O的切线，OA是半径，

∴∠DAO=90°，（切线的性质）

∴∠OCD=∠DAO=90°，即OC⊥DC，

∵OC是⊙O的半径，

∴DC是⊙O的切线.（切线的判定）

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵OB=OC，

∴△BOC是等边三角形，（等边三角形的判定）

∴∠BOC=60°，（等边三角形的性质）

∵AB=4，

∴OC=2，

在Rt△COF中，

tan∠BOC=CF/OC（三角函数的定义）

＝CF/2＝√3，

∴CF=2√3．

（完毕）

这道题是关于圆的综合题，考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质等，灵活运用切线的判定和性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。