中考数学培优：巧用旋转解题

巧用旋转解题

【例题讲解】

一、当条件中出现“邻边相等+对角互补十半角”

二、当条件中出现“邻边相等+半角”

【解题思路】

分析题意可知∠BAP+∠CAQ=30°，充分利用这一点是解答本题的关键.思路一:可以将△BAP绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，设点P的对应点为P'，过点P'作BC的垂线，利用特殊角和勾股定理，求出线段P'Q的长；然后证明△QAP'≌△QAP，得到线段PQ的长，进一步得到线段AB的长.思路二:可以将△BAP沿直线AP翻折得△B'AP，连接B'Q，证明△B'AQ≌△CAQ，从而发现△B'PQ中，∠PB'Q=120°，PB'=2，QB'=3，可求线段PQ的长，进一步得到线段AB的长.

【点评】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

三、当条件中出现“邻边相等+对角互补”

四、仅有“邻边相等”

【巩固练习】

【解析】

如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接PE，只要证明PA、PB、PC为边组成的三角形就是△PEB，再求出其内角即可.

【点评】

本题考查等边三角形的性质、旋转的性质，利用旋转添加辅助线是解决问题的关键，属于中考常考题型.

【解析】

根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，设BP=BP'=a、AP=CP'=b，在RT△PP'C中根据勾股定理可得CP'=v(9-2a2)，最后由BP的长a为整数可得AP.

【点评】

本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得出a、b间的关系式是关键.

【点评】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形、学会利用分割法解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

【解析】

首先过点D作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，由AB为O的直径，∠ACB的平分线交O于点D，可证得Rt△AFD≌Rt△BGD(HL)，Rt△CDF≌Rt△CDG(HL)，则可得AC+BC=CF-AF+AG+BG=CF+CG=2CF，△CDF是等腰直角三角形，继而求得答案.

【点评】

此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质.能准确作出辅助线，借助于方程求解是解此题的关键.

【点评】

本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，难度适中.