统计力学（36）： 6.5 一般结论，平均值和常态分佈 （简体字版）
6.5 一般结论，平均值和常态分佈
这章的讨论重点，在总体和部份的关係。平衡下的物体各部的各种“力” 都一样，即有相同的温度，压力，人口压。整个物体若是在动，则各部有相同的速度(如果都在转动， 则有相同的转速，读者可试试从基本假设引出)。这都是基本假设的后果，这 种力的均衡，是平衡的特色。
我们注意到，每个力都和一个不变量有关: 温度和能量，压力和容积，人口压和粒子数，速度和动量。一旦这些力不均匀，则会有这些不变量的流动。音波的分析是一个示范例子。缓慢大尺度的改变，多是和这些不变量有关的。
物体的各部份，不一定要按照所佔的空间区域来划分。以上对振动的讨论指出: 我们可以依照振动单元的能量或动量来分组。每一组算是物体的一部分。不过，分部而后个别计熵的方法，只有在各部大致独立时，才有用。各部独立的意思只是各部运动互不相关，熵可以个别统计。这独立性是个十分複杂的问题，我们以后会仔细讨论。
从统计观点看来，这一章谈的莫非是分类和综合步骤，乃大数值函数的一些特色。以上的结果，不一定要和能量、人口（粒 子数)之类的不变量有关。我们可以按任何巨观量的值分类。现 在把这一点说明如下:
令 为一个 量 级的运动变数，令
这是一个分类统计的结果。每一个 值成一类。在能量为 的诸形象中，收集 值为 者而计其数目。当然就是各形象的 分佈。可以由 综合得来，
这积分又可用尖峰法，先求 之极大值:
令其解为 。如果 为极大值，则
为必要条件， 由(15)得
【例】
此地， 是物体的第 1 部份和第 2 部分的能量， (见(1) , (2))在本章开始时分析过。
， 的定义见(<span role="presentation" data-formula="4" '="" data-formula-type="inline-equation">)， 因此
(80)的结果是
(85)当然是和 (6)， (7)完全一样 ，，是(85)之解，， 是(6)， (7)之解。
以上的分析说明: 从基本假设，我们可以计算出任一个巨观变数的值。计算步骤是分类统计得熵，而后求极大值。（见（80））各形象的分佈总是一个常态分佈，
因此，也可以写成
即 是 在活动范围中各形象的平均值。原因是: 几乎整个活动范围中的 值都是，而， 是个很小的数目。
现在再囘头来温习一下活动范围的意义，它是形象空间里的一个区域，运动轨迹散布其中。它是一个由轨迹撑起来的区城。以上的结论是: 活动范围中差不多每个地方的 值都是 。既然轨迹散佈于这区域中，我们不难想见，在轨迹上差不多每一点， 值也都是。
一般实验所测定的，都是观测时间内一些巨观变数的时间平均值:
是形象空间中的轨迹，代表详细的分子运动，观测时间是从到。既然差不多总是， 我们的结论是
因此，除了求熵之外，基本假设对计算 也有明显的指定。只要知道了活动范围， 就可以算出了。
读者或会问: 既然几乎每一形象的 值都是 ， 何不随意取一形象，算出 便是? 何必去平均? 这问题牵涉甚多，原则上是可以，但在实际计算上， 「随意」 取一形象是个不简单的问题，平均值的计算仍属必要，以后会详细讨论。
注意: 我们还未讨论如何从轨迹来决定活动范围。这是个难题。以后会讨论。现在活动范围的划定是假设的一部分，即: 凡是不变量容许的形象，都是包括在范围内。因此，所有以上的结论，都只是假设的延伸而已。
这句话也可以表达如下:
巨观运动变数的时间平均值，等于其在活动范围内的平均值。
读者请务必注意: ① 这个结论只能合用于巨观变数，即量级变数，② 这结论不是说轨迹在活动范围中每一点花同样的时间。因为几乎整个活动范围中所有地方的 值都是 ， 轨迹只要不是「太离谱」， 只要不到那些“几乎整个” 之外的地方呆著， 就可以成立。因此 并不是一个令人惊异的结论。它并没有对轨迹作苛刻的要求。
把活动范围分成个大区域 ， 不是很大的数字，例如。令每区域体积一样。如果要求轨迹在每个大区域内花的时间大致一样 ， 就可以舒舒服服地成立了。这个要求，和要求轨迹通过每一点，是完全不同的。
虽然这要求“并不苛刻”，但轨迹是否适合这要求，仍是一个问题。如果轨迹偏要缩到 的角落里去，我们只有承认我们搞错了活动范围，或基本假设不对。
从这一节和上一节，我们可以看到，基本假设对熵、对平衡现象、对巨观变数的平均值，大致都有很圆满的解释。这样简单 的假设，居然有此威力，确是很令人难以了解。
最后，我们略提一下常态分佈的意义。像(86)这样地分佈一再地出现，原因何在? 略看我们的推演，就知道这是 为级大数的结果。级大数都是由许多分子运动变数加起来的。而这些分子变数大致是“独立” 的，因为物体可以分成许多大致独立的部分。以后我们会讲“中央极限定理”， 这定理大致是说: 如果 是很多大致独立变数之和，则 的分佈是常态分佈。因此，巨观变数的常态分佈，可以说是物体各部大致独立的结果。
讨论问题六
1，利用分组求熵和综合方法 (21)，求出 ， 和 ， 的关係， 假 设
（A） 物体是 个合羣粒子，
（B）是 个不合羣粒子。
2， 导出 (46)，(47)，并证明在低温，高温
即低温的 定律，高温的“爱因斯坦定律”。注意，金属电子的热容率是和 成正比，见第四章。
3， 图示某晶体的热容率
图 4
试证: 斜线部分面积是零点振动能量，有 个原子组成一个一 度空间的“晶体”， 求振动的频率分佈 。
4， 热辐射， (即黑体辐射）的理 论 和晶 体 振动理 论颇 有 雷同 之 处 。（见 第 三 章，第 4 节） 。试作 详 细 比 较 。
5， 热辐射是一光子 气体， 在这气体内， 可 不可 以有声波的现 象 ? 试作 详 细分析。
6， 第 4 节 的计 算 稍为繁杂 ，不过对基本观念和技巧的了解， 应颇有助益。读者应仔细推演一 次，注意每一细节。第二音波先在氦液中出现 ， 读者可参考吴家玮(1972), Wilks (1967) [吴家玮(1972) 「氦和多体物理」 (民国六十一年中华书局); Wilks, J. (1967) Liquid and Solid Helium (Oxford University Press, London).]。
7，第 5 节的重点在数量级，即 ， 。若非这样的数量级，基本假设就不能发生效力。这数量级的要求， 并不简单。如果有长程的交互作用，则此种数量级就不一定成 立。
试解下列模型:
此所谓“长程作用易形模型” 。每单元 和所有其他单元都有作用。“易形模型” 的一般讨论在第十七章。
暗示: 把 写成 ， 为所有之和，即 可立 即算出。
分析此模型各量的数量级。将问题 (5.2)和本题作一比较。
（可左右滑动看完整公式）
（此抄书系列同时发在本人的博客：hongruma.net）