中考数学压轴题分析：圆与双角平分线

本文内容选自2021年永州中考数学几何压轴题。题目以圆为背景，考查相似等知识。本题涉及三角形的双角平分线，难度不大。

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【中考真题】

（2021·永州）如图1，是的直径，点是上一动点，且不与，两点重合，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，原有条件不变，连接，，延长至点，的平分线交的延长线于点，的平分线交的平分线于点．求证：无论点如何运动，总有．

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【分析】

（1）有交点连圆心，证垂直。根据角平分线+等腰可以得到OC与AD平行，都垂直于CD，结论易得。属于常考题。

（2）2AO可以转化为AB，那么只需连接BC即可。易得△ADC∽△ACB，那么就可以根据比例得到结论。

（3）本题考查三角形的双角平分线的性质，难度不大。

如下图：若一个三角形的内角与外角平分线交于一点，那么易得∠P=1/2∠A。

根据上面的模型，大家可以证明∠P=1/2∠AEB，∠Q=1/2∠ACB。

而∠AEB=∠ACB=90°。

【答案】证明：（1）连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．

（2）连接，
平分，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）、的角平分线交于点，
，，
是的一个外角，是的一个外角，