椭圆内接等腰直角三角形个数问题

先看题目：

这是一位同学在昨天给我发来的题目，从难度上说，大约是浙江卷的平均水平，大大高于近几年的全国卷，与2016全国II(理)20题比较类似。这样的范围问题，难点就在于如何将题目的已知条件与要求的结论联系起来。

首先可以看出，要求离心率的范围，实际上就是要求出a的范围，令等腰直角三角形另两个顶点为B，C，显然AB，AC斜率均存在且不为0。而且由于AB⊥AC，那么AB，AC斜率是异号的，为了方便讨论，令AB斜率为k(k>0)。

现在根据题意，也就是k共有三个不同的值可以满足|AB|=|AC|，这样利用弦长公式将|AB|，|AC|表示出来，题目就变成了某个关于k的方程有且仅有三个根的问题：

到这里关于k的方程已经得到了，如果没注意到可以因式分解或者留意到k=1是方程的根，那么就要绕一些弯路，因式分解后处理比较容易：

当然也可以从函数的角度出发：

本题目最好对照2016全国II(理)20题食用。