每日一题329：基于符号描述的无关性转化累次积分为不同坐标系下积分模型的计算思路与方法

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习329 ：(1) 设 在上可积，证明：

(2) 计算积分

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。感谢学友的热心整理分享，欢迎更多学友投稿分享好的学习资源、学习经验和大学学习、生活经历、经验，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ号码：492411912.

练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习329 ：(1) 设 在上可积，证明：

(2) 计算积分

【参考解答】：看到左侧类似结构的二次累次积分表达式，通过考察其结构、来源，应该与对面积的曲面积分的球坐标计算方法的累次积分对应！通过寻找通常的球坐标变换关系来探索其可能的验证思路与过程.

(1) 由积分变量符号描述的无关性和积分换元法，即左侧积分为，则

其中

由曲面积分的球坐标计算方法，最终的积分结果可以视为积分曲面为上半球面第一卦限部分的第一类，即对面积的曲面积分的球坐标计算表达式. 球坐标变换公式可以取为

则. 于是曲面积分的被积表达式可以改写为

即二重积分转换为曲面积分模型

考虑另外方法计算曲面积分. 由于积分曲面为简单的型，可描述为

于是由对面积的曲面积分的直接计算法，

代入对面积的曲面积分，得

由于要保持被积函数表达式不变，故考虑直角坐标计算方法，积分区域为型区域，可以描述为

故由二重积分的累次积分表达式为

(2) 由(1)转换过程与结果，令，则

令，则

令，则

等式移项得

所以最终结果为

【注1】：题目中左侧的积分变量也可以描述为其他变量符号，比如直接就为

这时主要考察被积表达式的结构，基于积分变量符号描述的无关性，转换为球坐标变量描述来选择以上的验证思路与过程.