第27讲 典型例题与练习参考解答:变限积分与定积分的近似计算

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第27讲:变限积分与定积分的近似计算

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例题与练习题

【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!

练习1:已知求变限积分函数

在上的表达式.

练习2:计算下列各导数:

(1) ;

(2) ,其中 连续.

练习3:求下列极限:

(1) ;

(2)  ;

(3)  ,其中 连续,且 , .

练习4:确定常数 的值,使得

练习5:设在 上可导, 且 , 其反函数为 ,满足

求 的表达式.

练习6:设函数 在 上连续,且 ,

证明:在 上的描述的曲线为凹曲线.

练习7:设在 上连续且 ,证明:

在 内为单调递增函数.

练习8:设在 上连续且递减,证明:当时,

练习9:设在 上连续,在开区间内可导,且 , . 证明:
练习10:设在 上连续,在开区间内可导,证明:至少存在一点,使得
练习11:若函数 在 上连续且单调增加,证明
练习12:设是区间 的任一非负连续函数.

(1) 证明存在 ,使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积.

(2) 又设 在 内可导,且 ,证明(1)中的 是唯一的.

练习13:(1) 设函数 在闭区间 上可微,且 . 证明:

(2) 设在上可导, ,且 ,其中 为常数. 证明: ,其中 为与 无关的常数.

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考,过程不一定是最简单的,或者最好的,并且有时候可能还有些许小错误!希望在对照完以后,不管是题目有问题,还是参考解答过程有问题,希望学友们能不吝指出!如果有更好的解题思路与过程,也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员,管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享,谢谢!

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!

练习1:已知求变限积分函数

在上的表达式.

【参考解答】:(1) 求的表达式.

当时,有

当时,有

综上可得

(2) 求 的表达式.

当 时,有

当 时,有
综上可得

练习2:计算下列各导数:

(1) ;

(2) ,其中 连续.

【参考解答】:(1) 直接由变限积分求导公式,得

(2) 直接由变限积分求导公式,得


练习3:求下列极限:

(1) ;

(2)  ;

(3)  ,其中 连续,且 , .

【参考解答】:(1) 由求函数极限的洛必达法则,得

(2) 由等价无穷小和洛必达法则,得

(3) 直接由洛必达法则,得

【注】该题可以直接令 f(x)=x 验证结果的正确性.


练习4:确定常数 的值,使得

【参考解答】:因为 时,,故得. 代入极限式并由洛必达法则,得

故得 ,从而得极限值 .


练习5:设在 上可导, 且 , 其反函数为 ,满足

求 的表达式.

【参考解答】:在已知方程两边对 求导, 得

由题设知 ,整理得

积分得. 代入 ,得 ,故


练习6:设函数 在 上连续,且 ,

证明:在 上的描述的曲线为凹曲线.

【参考解答】:令 ,去掉被积函数绝对值,有

由变限积分求导公式,得

因 在 上连续,且 ,所以 ,即函数 在 上的描述的曲线为凹曲线.


练习7:设在 上连续且 ,证明:

在 内为单调递增函数.

【参考解答】:直接由变限积分求导公式求导得

由于被积函数中 且 ,故由积分的保号性知 ,即在 内为单调递增函数.


练习8:设在 上连续且递减,证明:当时,

【参考证明】:令

则 , .

由于 在 递减,于是有

由此可知 在 内单调递增,在 内单调递减,所以

从而可得

即原不等式成立.


练习9:设在 上连续,在开区间内可导,且 , . 证明:

【参考证明】:令

则 ,且

由于  , ,所以当时,, ,于是可得 . 再令

则 . 并且

于是可得 ,即 在 上单调增加,知  特别有 ,即


练习10:设在 上连续,在开区间内可导,证明:至少存在一点,使得

【参考证明】:依据中值等式命题的一般证明步骤,有

将端点0,1代入,无法确定中括号内值的符号,因此不好直接考虑零值定理验证. 所以考虑构建中括号内的一个原函数,使用罗尔定理来验证. 容易发现积分上限函数的导数正好为被积函数 ,而 ,所以上式的一个原函数为

显然 在 上连续,在 上可导,并且有

所以满足罗尔定理的条件,于是由罗尔定理得


练习11:若函数 在 上连续且单调增加,证明

【参考证明】:令

于是

因为函数 在 上单调增,最后的被积函数  中 ,所以 ,所以积分的保序性,可得 ,即函数 单调增加,所以

从而有 ,即原不等式成立.


练习12:设是区间 的任一非负连续函数.

(1) 证明存在 ,使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积.

(2) 又设 在 内可导,且 ,证明(1)中的 是唯一的.

【参考证明】:(1) 结论等价于证明存在 ,使得

令,则 在 上连续,在 内可导,且 ,所以由罗尔定理,存在,使得

成立,即(1) 结论成立.

(2) 取 ,则

由于 ,所以
即函数在 上严格单调递减,所以是唯一的.

练习13:(1) 设函数 在闭区间 上可微,且 . 证明:

(2) 设在上可导, ,且 ,其中 为常数. 证明: ,其中 为与 无关的常数.

【参考证明】:(1) 由不等式证明的一般思路,令

则 ,且

故 单调增加,即

故原不等式成立.

(2) 由题设不等式求导展开且由 ,整理得

两端在区间 上积分,得

移项整理得

由对数函数性质,得

于是令 ,并由对数函数的单调性,得

故所证不等式成立.

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