Python数学建模系列（八）：图论
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前言
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自我介绍 「ଘ(੭ˊᵕˋ)੭」
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标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！ 初学Python 小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
题不在多 学一题 懂一题
知其然 知其所以然！
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1 图论模型 - Dijkstra
Dijkstra算法能求一个顶点到另一顶点最短路径。
基础概念
- 无向图： 若图中的每条边都是没有方向的，则称该图为无向图。
- 有向图： 若图中的每条边都是有方向的，则称该图为有向图。
- 混合图： 若图中的部分边是有方向的，而部分边是无方向的，则称该图为混合图。
样例1
如下图所示，我们需要从①点走到⑨点，每条边的红色数 字代表这条边的长度，我们如何找到①到⑨的最短路径呢？
步骤：
- 将①标记为P，其它标记为T，找出从①出发当前最短的边所到的点，将该点的T改为P
- 将所有P点找到可以到达的T标记点上最短的边，将到达的点T改为P
- 重复步骤，指导终点的T变为P
过程展示：圈加数字代表每个顶点，()内数字代表当前行走的距离
❝
1.①(0)
2.①②(1)
3.①②⑤(3)
4.①②⑤(3) ①④(3)
5.①②⑤⑦(5) ①④(3)
6.①②⑤⑦⑥(6) ①④(3)
7.①②⑤⑦⑥(6) ①②⑤③(6) ①④(3)
8.①②⑤⑦⑥(6) ①②⑤③④(7) ①④(3)
9.①②⑤⑦⑥⑧(8) ①②⑤③④(7) ①④(3)
10.①②⑤⑦⑥⑧(8) ①②⑤⑦⑨(8) ①②⑤③④(7) ①④(3)
❞
「所以最短的路径是 ① ② ⑤ ⑦ ⑨， 长度为8」
带权邻接矩阵： 带权邻接矩阵是表示顶点相邻关系的矩阵，例如上面那个图的带权邻接矩阵如下
❝
注意：原PPT中有错误， 点9 -> 点7 应该为inf （上图已经修改）
❞
每个点和自己的距离为0（主对角线上元素都是零）
在图上相邻两个点的如果是连通的，距离就是矩阵的值，无向 的关于主对角线对称；有向的只有可以过去的路有数值
无法连通的距离就是无穷，记为inf
Demo代码
# 运行环境：Vs Code# PPT中代码有点错误 已经修改～ # 以下代码经测试 可行from collections import defaultdict from heapq import * inf = 99999 # 不连通值 mtx_graph = [[0, 1, inf, 3, inf, inf, inf, inf, inf], [1, 0, 5, inf, 2, inf, inf, inf, inf], [inf, inf, 0, 1, inf, 6, inf, inf, inf], [inf, inf, inf, 0, inf, 7, inf, 9, inf], [inf, 2, 3, inf, 0, 4, 2, inf, 8], [inf, inf, 6, 7, inf, 0, inf, 2, inf], [inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, inf, 3], [inf, inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, 2], [inf, inf, inf, inf, 8, inf, inf, 2, 0]]m_n = len(mtx_graph)#带权连接矩阵的阶数 edges = [] #保存连通的两个点之间的距离(点A、点B、距离) for i in range(m_n): for j in range(m_n): if i!=j and mtx_graph[i][j]!=inf: edges.append((i,j,mtx_graph[i][j])) def dijkstra(edges, from_node, to_node): go_path = [] to_node = to_node-1 g = defaultdict(list) for l,r,c in edges: # l:点A r:点B c:距离 # 字典： 点A -> (距离，点B) g[l].append((c,r)) q, seen = [(0, from_node-1, ())], set() while q: (cost, v1, path) = heappop(q)#堆弹出当前路径最小成本 if v1 not in seen: seen.add(v1) path = (v1, path) if v1 == to_node: break for c, v2 in g.get(v1, ()): if v2 not in seen: heappush(q, (cost+c, v2, path)) if v1!=to_node: #无法到达 return float('inf'), [] if len(path)>0: left=path[0] go_path.append(left) right=path[1] while len(right)>0: left=right[0] go_path.append(left) right=right[1] go_path.reverse() #逆序变换 for i in range(len(go_path)): #标号加1 go_path[i]=go_path[i]+1 return cost, go_path leght, path = dijkstra(edges, 1, 9) print('最短距离为：'+str(leght)) print('前进路径为：'+str(path))运行结果
最短距离为：8前进路径为：[1, 2, 5, 7, 9]2 图论模型-Floyd
Floyd算法通过动态规划解决任意两点间的最短路径（多源最短路径）的问题，「可以正确处理负权的最短路径问题」
关键原理：
❝
枚举中间点k，找到最小的，作为的最小值
❞
关键结论：
❝
假设i和j之间的最短路径上的结点集里(不包含i，j)，编号最大的一个是x.那么在外循环k = x时， 肯定得到了最小值.
❞
强归纳法 :
❝
设i到x中间编号最大的是x1，x到j中间编号最大的是x2.由于x是i到j中间编号最大的，那么显然
❞
根据结论，时候已经取得最小值，时候已经取得最 小值
那么时，和已经都取得最小值.
因此时，执行得
样例2
与样例1相似，只是这次我们「求出从每一个点到其他点的最短距离和路径」，每条边的红色数字代表这条边的长度。
Demo代码
from collections import defaultdict from heapq import * import numpy as npinf = 99999 # 不连通值 mtx_graph = [[0, 1, inf, 3, inf, inf, inf, inf, inf], [1, 0, 5, inf, 2, inf, inf, inf, inf], [inf, inf, 0, 1, inf, 6, inf, inf, inf], [inf, inf, inf, 0, inf, 7, inf, 9, inf], [inf, 2, 3, inf, 0, 4, 2, inf, 8], [inf, inf, 6, 7, inf, 0, inf, 2, inf], [inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, inf, 3], [inf, inf, inf, inf, inf, inf, 1, 0, 2], [inf, inf, inf, inf, 8, inf, inf, 2, 0]]def Floyd(graph): N=len(graph) A=np.array(graph) path=np.zeros((N,N)) for i in range(0,N): for j in range(0,N): if A[i][j]!=inf: path[i][j]=j for k in range(0,N): for i in range(0,N): for j in range(0,N): # 原PPT这一句代码有错 写成了 A[i][j]+A[k][j]<A[i][j] # 正确应该是：A[i][k]+A[k][j]<A[i][j] if A[i][k]+A[k][j]<A[i][j]: A[i][j]=A[i][k]+A[k][j] path[i][j]=path[i][k] for i in range(0,N): for j in range(0,N): path[i][j]=path[i][j]+1 print('距离 = ') print(A) print('路径 = ') print(path) Floyd(mtx_graph)运行结果
❝
注意：原PPT 结果中 最后一行又错 应该是 5. 5. 8. 8. 5. 8. 8. 8. 9. PPT中是： 5. 5. 7.7. 5. 7. 7. 8. 9. 因为在最初的 mtx_graph 设置就错了：点9到点7 应该是inf 而不是 3
❞
结论：
- 从点1 到 点9 的距离为8（结果中“距离”矩阵中第一行第九列数值）
- 路径为【1 - 2 - 5 - 7 - 9】
怎么看路径呢？
- 从最后结果中查看”路径“矩阵
- 点1 到 点9 首先看第一行第九列 数值为2
- 这是中间位置2，再看第二行第九列，数值为5
- 再看第五行第九列，数值为7
- 再看第七行第九列，数值为9
- 得到最终路径【1 - 2 - 5 - 7 - 9】
3 机场航线设计
数据集来自航空业，有一些关于航线的基本信息。有某段旅程的起始点和目的地。还有一些列表示每段旅程的到达和起飞时间。这个数据集非常适合作为图进行分析。想象一下通过航线（边）连接的几个城市（节点）。
如果你是航空公司，你可以问如下几个问题：
- 从A到B的最短途径是什么？分别从距离和时间角度考虑。
- 有没有办法从C到D？
- 哪些机场的交通最繁忙？
- 哪个机场位于大多数其他机场“之间”？这样它就可以变成当地的一个中转站。
0、Airlines.csv数据
在这里插入图片描述
1、数据导入、观察变量
import numpy as np import pandas as pd data = pd.read_csv('../Profile/Airlines.csv') data.shape #数据大小 # (100, 16) 100行16列运行结果
「查看各个变量的类型」
data.dtypes # 各变量的类型运行结果
在这里插入图片描述
2、数据清洗
#将sched_dep_time转换为'std'—预定的出发时间 data['std'] = data.sched_dep_time.astype(str).str.replace('(\d{2}$)', '') + ':' + data.sched_dep_time.astype(str).str.extract('(\d{2}$)', expand=False) + ':00' #将sched_arr_time转换为“sta”—预定到达时间data['sta'] = data.sched_arr_time.astype(str).str.replace('(\d{2}$)', '') + ':' + data.sched_arr_time.astype(str).str.extract('(\d{2}$)', expand=False) + ':00' #将dep_time转换为'atd' -实际出发时间 data['atd'] = data.dep_time.fillna(0).astype(np.int64).astype(str).str.replace('(\d{2}$)', '') + ':' + data.dep_time.fillna(0).astype(np.int64).astype(str).str.extract('(\d{2}$)', expand=False) + ':00' #将arr_time转换为'ata' -实际到达时间data['ata'] = data.arr_time.fillna(0).astype(np.int64).astype(str).str.replace('(\d{2}$)', '') + ':' + data.arr_time.fillna(0).astype(np.int64).astype(str).str.extract('(\d{2}$)', expand=False) + ':00'3、时间信息合并
data['date'] = pd.to_datetime(data[['year', 'month', 'day']]) data = data.drop(columns = ['year', 'month', 'day'])4、创建图
import networkx as nx FG = nx.from_pandas_edgelist(data, source='origin', target='dest', edge_attr=True,)# 查看所有节点 FG.nodes()运行结果
#NodeView(('EWR', 'MEM', 'LGA', 'FLL', 'SEA', 'JFK', 'DEN', 'ORD', 'MIA', 'PBI', 'MCO', 'CMH', 'MSP', 'IAD', 'CLT', 'TPA', 'DCA', 'SJU', 'ATL', 'BHM', 'SRQ', 'MSY', 'DTW', 'LAX', 'JAX', 'RDU', 'MDW', 'DFW', 'IAH', 'SFO', 'STL', 'CVG', 'IND', 'RSW', 'BOS', 'CLE'))「查询图中的所有边」
# 查看所有边 FG.edges()运行结果
#EdgeView([('EWR', 'MEM'), ('EWR', 'SEA'), ('EWR', 'MIA'), ('EWR', 'ORD'), ('EWR', 'MSP'), ('EWR', 'TPA'), ('EWR', 'MSY'), ('EWR', 'DFW'), ('EWR', 'IAH'), ('EWR', 'SFO'), ('EWR', 'CVG'), ('EWR', 'IND'), ('EWR', 'RDU'), ('EWR', 'IAD'), ('EWR', 'RSW'), ('EWR', 'BOS'), ('EWR', 'PBI'), ('EWR', 'LAX'), ('EWR', 'MCO'), ('EWR', 'SJU'), ('LGA', 'FLL'), ('LGA', 'ORD'), ('LGA', 'PBI'), ('LGA', 'CMH'), ('LGA', 'IAD'), ('LGA', 'CLT'), ('LGA', 'MIA'), ('LGA', 'DCA'), ('LGA', 'BHM'), ('LGA', 'RDU'), ('LGA', 'ATL'), ('LGA', 'TPA'), ('LGA', 'MDW'), ('LGA', 'DEN'), ('LGA', 'MSP'), ('LGA', 'DTW'), ('LGA', 'STL'), ('LGA', 'MCO'), ('LGA', 'CVG'), ('LGA', 'IAH'), ('FLL', 'JFK'), ('SEA', 'JFK'), ('JFK', 'DEN'), ('JFK', 'MCO'), ('JFK', 'TPA'), ('JFK', 'SJU'), ('JFK', 'ATL'), ('JFK', 'SRQ'), ('JFK', 'DCA'), ('JFK', 'DTW'), ('JFK', 'LAX'), ('JFK', 'JAX'), ('JFK', 'CLT'), ('JFK', 'PBI'), ('JFK', 'CLE'), ('JFK', 'IAD'), ('JFK', 'BOS')])在这里插入图片描述
「计算图的平均边密度」
#注意我们的100行数据都来自3个机场nx.draw_networkx(FG, with_labels=True) nx.algorithms.degree_centrality(FG) # 图的平均边密度 nx.density(FG)# 0.09047619047619047运行结果（对图进行可视化）
「求图中所有路径的平均最短路径长度」
#图中所有路径的平均最短路径长度nx.average_shortest_path_length(FG) # 2.36984126984127运行结果
「对于一个度为k的节点-求的邻居度的平均值」
#对于一个度为k的节点-它的邻居度的平均值是多少nx.average_degree_connectivity(FG) # For a node of degree k - What is the average of its neighbours' degree?#{20: 1.95, 1: 19.307692307692307, 2: 19.0625, 17: 2.0588235294117645, 3: 19.0}运行结果
在这里插入图片描述
5、计算航线
# 找出所有 JAX 到 DFW 的航线for path in nx.all_simple_paths(FG, source='JAX', target='DFW'): print(path)#找出从JAX到DFW的dijkstra路径。dijpath = nx.dijkstra_path(FG, source='JAX', target='DFW')dijpath # ['JAX', 'JFK', 'SEA', 'EWR', 'DFW'] 下图中的最后一行运行结果
「从所有航线中找出 飞行时间最短的路径」
# 从所有航线中找出 飞行时间最短的路径shortpath = nx.dijkstra_path(FG, source='JAX', target='DFW', weight='air_time')shortpath# ['JAX', 'JFK', 'BOS', 'EWR', 'DFW']运行结果：
注意事项
- 起始点和目的地可以作为节点，其他信息应当作为节点或边属性；单条边可以被认为是一段旅程。这样的旅程将有不同的时间，航班号，飞机尾号等相关信息。
- 注意到年，月，日和时间信息分散在许多列；想创建一 个包含所有这些信息的日期时间列，还需要将预计的 （scheduled）和实际的(actual)到达离开时间分开；最终 应该有4个日期时间列（预计到达时间、预计起飞时间、 实际到达时间和实际起飞时间）
- 时间格式问题
- 数据类型问题
- NaN值的麻烦
结语
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