我是怎样读《几何原本》的

本文为“第三届数学文化征文比赛”参赛作品

我是怎样读《几何原本》的

作者：刘瑞祥

作品编号：011

既然提出了标题中的这个问题，那在此之前就要先回答“今天为什么还要读《原本》？”我们都听说过这样一句话：“要想了解一门学科的未来，就要了解这门学科的过去。”我想，这就是读《原本》最直接也最高大上的需要吧。其实，作为一部经典著作，《原本》应该是常读常新的：我们不会因为《史记》诞生于两千年以前就不读，那为什么不读读《原本》呢？从读者的角度来说，《原本》和其它经典的区别何在？我认为这最大的区别是，只要中学生的水平就能“读懂”《原本》，但是研究生反而不一定能“读懂”《原本》。显然，这句话里的两个“读懂”是不同层次的。比如，即使是普通的初中生，也肯定能看明白《原本》里大多数的平面几何命题，如著名的“三角形内角和”“勾股定理”乃至现在初中课本里没有的“平行线分线段成比例”的证明过程，但是要细究每个命题的来龙去脉，甚至提出关于《原本》的新的学术观点，则是一项很不容易的工作。因此，对不同的读者来说，《原本》就有了不同的阅读要求：对中学生而言，读《原本》是为了感受经典，体会其论证方式；对大学生乃至研究生而言，读《原本》可能是为了学习古希腊数学史；对数学家而言，读《原本》的意义则在于从历史瞭望未来数学的发展。就我本人来说，虽然早已大学毕业，但并不是数学专业人士，能按照中学生的要求读下来《原本》，就已经很不易了。不过话虽如此，我毕竟已经不是中学生了，所以下面就说说我是怎么读《原本》的，希望对大家有所借鉴，也希望得到专家的点评和指正。

那么我是抱着什么心态去读《原本》的呢？众所周知，当年徐光启曾经说过，读这本书有所谓的“四不必”，即“不必疑，不必揣，不必试，不必改”，但如果读者们因为才力所限作不到“疑揣试改”尚有可说，而“不必”则大可商榷。对于我来说，这本书虽然经典，但毕竟是两千多年前的了，如果我是抱着所谓“跪舔”的心态，那真的就辜负了这两千年来经典数学的发展，也辜负了我受过的教育。换言之，对这部经典，崇拜的心态可以有，但神化则大可不必。且不论历来就有学者提出这本书的若干证明并不严格，即以我本身来说，就能独立发现不够严格之处。因此，我是抱着一种“自豪的心情和正当的优越感”来读这本书的。欧几里得如果地下有知，一定不以我为僭越吧。

就读书过程来说，略可值得一提的是，我不是孤零零地读《原本》的。在读这本书的过程中，我参考了大量相关书籍，择其要者，就有希尔伯特的《几何基础》、梁子傑的《几何原本导读》（台湾九章出版社）、莫德的《欧几里得原本研究》（内蒙古教育出版社）、钱端壮的《几何基础》（高等教育出版社）、许莼舫的《许莼舫初等几何四种·几何定理和证题》（中国青年出版社）等若干种。其余零星参考者无论矣。我并下了一番“笨功夫”，不但在电脑上把各个命题逐字逐句打了出来，还总结出来出各命题会在后面哪里用到，这方面的结果曾经蒋迅老师推荐在“好玩的数学”公众号上发表过（>>戳此查看）。

通过阅读《原本》，我获得了一些珍贵的益处，自然，这都是针对我个人的。首先是开阔了视野，获得了以前所不知道的知识。《原本》中的若干命题和证明方法是我以前不曾接触过的，比如前面曾经提到“平行线分线段成比例”的证明，就是我原先不会的。另外的例子还有《原本》里所载的作圆切线的方法。比较遗憾的是我尚不熟悉其中部分内容，比如“穷竭法”，还有所谓“偶倍奇数”“偶倍偶数”这样的概念。第二，我重新对数学产生了兴趣，我上学时即喜欢数学，因才智所限，没有任何成就，但是对几何一直感觉比较困难，读这本书让我改变了对几何的认识。第三，我提高了逻辑思维能力。通过参阅《几何基础》《几何原本导读》等书，我对《原本》里的证明特点和不足之处有了一定认识，并且能指出部分命题的不够严密之处，比如我就曾经指出勾股定理中作者没有论证“直角三角形斜边上高线与斜边相交”并补充了这个命题。最后，就是我对《原本》中的若干问题提出了自己的观点，比如总结了比例论在《原本》中的应用，以及对涉及第五公设命题、第十卷多数命题之间的关系进行了探索，所选观察角度是我视野所见资料中未有者（这方面可以看我发表在公众号上的文章，如：浅谈《几何原本》中的比例论、《几何原本》中第十卷不可公度量的概念概览、《几何原本》第五公设有关命题简介），并以《原本》为参照点对数学的发展过程有了一定的认识。陶渊明曾曰：”好读书，不求甚解，每有会意，辙欣然忘食“，我当然不指望自己能望这位“五柳先生”之项背，但是读出心得之后的快乐是一样的，何况还能在公众号上发文以飨读者，网交多位专家和数学爱好者，亦属快事。

ps.最后，我试着回答一下如何通过“了解学科的过去”——具体到本文就是读《几何原本》——来“了解学科的将来”。因为我不是数学家，所以说起来肯定是错误百出，就姑妄言之吧。《几何原本》有很多不足，比如公理不够全面，许多命题的证明过程尚不严格，证明过程严重依赖技巧，一些证明过程过于繁琐，只涉及一些非常基本的理想图形（直线、圆、平面、球），维度不超过三等等，这些不足有很多已经得到了改正，还有的可能仍然属于当前热点问题，正需要数学家继续努力。