解题的哲学思考—知其根、守其通、求其妙、思其变

选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

老子《道德经》的二十八章：知其雄，守其雌，为天下溪……；知其白，守其黑，为天下式……；知其荣，守其辱，为天下谷……。

理解：老子哲学主张以静制动，以柔弱胜刚强。这种理解是不错的。但老子的这种思想，还有一个前提，就是要“知其雄”——首先要了解事物刚劲的一面，才能执守柔弱的一面。只有对事物全面了解，才能决定取舍。一般人往往片面了解或误解老子哲学，以为他一味地宣扬退让，这真是断章取义。实际上，老子是在有了“知其雄”的前提下，才有“守其雌”的结论。

那在数学解题过程过程中，知道题目或事物的本质；考察事物的一般性，深刻理解通法；思考事物的特殊性，求巧解；在前面的基础上，思考它的各种变化，即——知其根、守其通、求其妙、思其变。

法二：（求其妙：不等式恒成立求参数范围常常可以通过特殊值缩小参数的范围，结合原函数，观察这个范围是不是就是答案，如果是，就把问题转化为证明不等式恒成立的问题）

【考试中心的试题评价】试题突出考查了双曲线的方程、顶点、渐近线等基本概念，结合圆和特殊角度给出双曲线信息，为考生综合应用所学数学知识创造了条件，提供了拓展解题思路、提高分析问题水平的空间。试题精心设计，融入了多个知识点，考生可以用一般方法进行计算，也可以用几何方法简化计算过程。

【思其变 2】对题目中的数据和条件呈现的形式进行改变，得到上面的变式。

【思其变 3】从 ON = MN 到 ON = 2 MN 的改编，把问题变为了更一般的情况。